О малое и большое

[Mandel]

Чем отличается $o(\rho)$ от $O(\rho)$?

[DuNi4ka]

ммм.... что-то мне кажется, вроде помнится, что малое о - ето бесконечно малое (в пределе отношения дает 0), а О большое значит ограниченность, т.е. предел отношения дает какую-то конечную константу.

[RIP]

Ограниченность не предполагает существования предела, более того, выражение $f(x)=O(\rho)$ имеет смысл, когда $x$ просто бегает по какому-то множеству, при этом никуда не стремясь.

Можно считать, что $\rho=1$.
Выражение $f(x)=\overline{\overline{o}}(1)$, $x\to a$ (или, более общо, по какой-нибудь базе $\mathfrak B$), означает, что $\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$ (соответственно, $\lim\limits_{\mathfrak{B}}f(x)=0$).
Запись $f(x)=\underline{\underline{O}}(1)$, $x\in M$ ($M~-$ некоторое множество), означает, что функция $f$ ограничена на множестве $M$. Когда пишут $f(x)=\underline{\underline{O}}(1)$, $x\to a$ (или, более общо, по какой-нибудь базе $\mathfrak B$), то это значит, что функция $f$ ограничена в некоторой проколотой окрестности точки $a$ (на некотором элементе базы $B\in\mathfrak{B}$).

[juna]

Википедия