слабая замкнутость множества в функциональном пространстве

[dikiy]

Не получается показать, что $M:=\{x\in W_2^1[0,T]\big|\ x(0)=0\}$ образует слабо замкнутое множество. ($W_2^1$ - соболево пространство)

Ну то есть носом чую, что это так, но доказать сходу не выходит. Я пытался доказать от противного:

рассмотрим слабо сходящуюся последовательность $\{x_n\}$. Пусть $\lim\langle x_n,y\rangle = \langle \tilde x,y\rangle$. Пусть $\tilde x(0)=c\neq 0$. Но показать, что тогда существует $x_m$ с $x_m(0)\neq 0$ не выходит.

Есть идеи?

[g______d]

Ну так это же подпространство коразмерности 1 в гильбертовом пространстве. Факт абстрактный, пространства Соболева тут не особо причём.

[Oleg Zubelevich]

выпуклое множество в ЛВП сильно замкнуто iff оно слабо замкнуто

[dikiy]

где можно об этом прочитать? Или как это доказать? А если изменить условия так, что я возьму такое множество, где все $x(0)=C\neq 0$.

Оно выпукло, да. Также оно сильно замкнуто, а значит и слабо замкнуто.

Но вариант, предложенный первым оратором уже не подходит, или?

[Oleg Zubelevich]

теорема Хана -Банаха

[dikiy]

Oleg Zubelevich в сообщении #747469 писал(а):

теорема Хана -Банаха

я что-то не вижу как ее прикрутить. Может дадите точку отправки? Все. вопрос снят. Я уже понял :)