почему правильных многогранников только 5?

[bigarcus]

Ведь в двух измерениях бесконечно количество правильных многоугольников.
Кажется, что дополнительное измерение должно только добавлять возможностей, ан нет.
Есть ли какое внутриматематическое красивое объяснение такому ограничению?

И что будет в 4, 5, ... измерениях?

[Ktina]

bigarcus,
Вот здесь теорема 8.1. с док-вом.

-- 19.07.2013, 01:10 --

Только открывается медленно.

[bigarcus]

А что с многогранниками в четырёх и пяти измерениях, сколько их?

-- Пт июл 19, 2013 01:15:32 --

Доказательство я и прежде видел, но подумал может есть какая-то более глубокая причина такого ограничения.
Возможно, топологическая... Или какая ещё...

[JMH]

А в Вики заглянуть лень?

[bigarcus]

Я смотрел русскую, там бедно.

[JMH]

Там не только бедно, но зачастую и неверно. Советую избегать.

[vanger]

bigarcus в сообщении #747325 писал(а):

А что с многогранниками в четырёх и пяти измерениях, сколько их?

Начиная с размерности 5 есть лишь три правильных многогранника: симплекс("тетраэдр"), куб и кокуб("октаэдр").

Связано это со строениями систем корней. А именно. Правильный многогранник определяется своей группой симметрии. Группа симметрии многогранника порождается отражениями. Вот мы и пришли к группе Вейля и системам корней.

Вот про графы Кокстера, характеризующие системы отражений: http://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter%E2%80%93Dynkin_diagram

Из них не все достойны порождать симметрии многогранников(более того, не все из них даже соответствуют какой-то конечной группе отражений), а лишь $I_2(m), H_3, H_4, F_4, A_n, B_n$. Циферка при них это, в общем-то, размерность пространства, в котором они действуют. $I_2(m)$ -- правильный m-угольник на плоскости, $A_n$ -- симплекс("тетраэдр"), $B_n$ -- куб и кокуб("октаэдр")(разворот графа Кокстера соответствует двойственному многограннику, так что симметричные графы порождают самодвойственные, как тетраэдр, а несимметричные -- пары двойственных), $H_3$ -- додекаэдр и икосаэдр, $H_4$ и $F_4$ -- ещё три в четырёхмерии.

Рекомендую доступную книжечку Смирнова "Группы отражений и правильные многогранники".

[Ferma]

А числа Ферма объясняют это ограничение центральной симметрией.

[sergei1961]

А почему полов только два: мужики и бабы, ну пидоры не в счёт? Примерно такой же вопрос по содержательности...

[Toucan]

sergei1961, предупреждение за бессодержательное сообщение и неуместную лексику.