2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Произведение хорд = n (красивая теорема)
Сообщение18.07.2013, 04:04 
Дано. На окружности единичного радиуса выбираются $n$ равноотстоящих друг от друга точек. Из любой из выбранных точек до всех остальных точек проводятся хорды.
Доказать. Произведение длин получившихся хорд всегда равно $n$.

-- 18.07.2013, 04:05 --

По-видимому, нужно рассмотреть ситуацию как комплексную плоскость. Но конкретных идей у меня нет.

 
 
 
 Re: Произведение хорд = n (красивая теорема)
Сообщение18.07.2013, 05:29 
Аватара пользователя
Мне кажется, что я решал эту задачу на 1 курсе в формулировке $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$. Решил каким-то техническим способом. Решение сейчас гуглится по ключевым словам "произведение диагоналей многоугольника", но читать не хочу :)

 
 
 
 Re: Произведение хорд = n (красивая теорема)
Сообщение18.07.2013, 09:22 
g______d в сообщении #747024 писал(а):
я решал эту задачу на 1 курсе в формулировке $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$. Решил каким-то техническим способом.
Интересно, каким? Обычно это произведение синусов находят, сводя к значению производной многочлена.

 
 
 
 Re: Произведение хорд = n (красивая теорема)
Сообщение18.07.2013, 12:30 
Аватара пользователя
Да, можно в одну строчку сделать, рассмотрев функцию $\frac{z^{n}-1}{2^{n-1}(z-1)}$. Может быть я с какой-то другой задачей путаю, попробую вспомнить.

 
 
 
 Re: Произведение хорд = n (красивая теорема)
Сообщение18.07.2013, 16:27 
g______d в сообщении #747024 писал(а):
Решение сейчас гуглится по ключевым словам "произведение диагоналей многоугольника"

Действительно, спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group