Построить подгруппу порядка 56 группы перестановок S8

[Vadim2006]

Помогите разобраться с задачкой:
Построить подгруппу порядка 56 группы перестановок S8
Не знаю, как подступиться даже

[Dan_Te]

Просто подгруппу? Для начала разложим 56 на множители, получится $2^3\cdot7$.
Можете ли вы построить подгруппу $S_8$ порядка 7?

[Capella]

Dan_Te

Да там даже проще, достаточно знать, что порядок группы $S_n = n!$, а 56 не является факториалом какого-либо числа

[Vadim2006]

Да, просто подгруппу
А что с того что мы разложили 56?
Как построить подгруппу порядка 7?

Добавлено спустя 45 секунд:

порядок подгруппы необязательно является факториалом

[RIP]

Vadim2006 писал(а):

Как построить подгруппу порядка 7?

Какие группы порядка 7 Вам известны?

[Capella]

Насколько я помню, является....
Короче Вам важно вот что: порядок $S_3 = 6$ и $S_4 = 24$
Вообще в группе имеются подстановки с чётным числом инверсий, т.в. они будут образовывать подгруппу для любого $n$.

[Brukvalub]

Vadim2006 писал(а):

Как построить подгруппу порядка 7?

Вот как раз подгруппу порядка 7 построить проще всего - взять цикл из 7 элементов и построить циклическую группу степеней этого цикла. Вот только поможет ли это для дальнейшего?

[Vadim2006]

единственная группа порядка 7 - циклическая

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

я тоже не понимаю, к чему это, нужна то ведь подгруппа порядка 56

[bot]

Vadim2006 писал(а):

А что с того что мы разложили 56?
Как построить подгруппу порядка 7?

Подгруппы порядков 7 и 8 - это запросто. Берём 7-членный и 8-членный циклы соответственно. Вот только они не перестановочны.

По теореме Силова в этой подгруппе должна быть подгруппы порядков 7 и 8. Первая из них циклическая, а для второй варианты ...

Нет, лучше так:
В такой подгруппе обязан быть 7-членный цикл, а сама подгруппа должна быть подпрямым произведением транзитивных групп подстановок на $n_k$ символах с условием $\sum n_k = 8$. Ровно одно из этих $n_k$ равно 7, а остальные ... , а для остальных осталось только 1.
Вроде не наврал.

[Vadim2006]

Таким образом мы доказали только существование(кстати, наверное можно попроще, т.к. у нас в курсе нет теорем Силова), а ведь требуется построить.
Преподаватель дал указание: использовать поле из 8 элементов, вот только как его использовать для этой задачи?

[bot]

Хм, а я думал, что доказал отсутствие.

[Vadim2006]

Я не владею терминологией, связанной с теоремами Силова и не могу оценить правильность решения(
Я думаю, подразумевается, что мы должны решить эту задачу, без их использования(но такая подгруппа точно существует)

[RIP]

Хм, задачка-то совсем простая. Каждое линейное отображение $x\mapsto ax+b$, $a,b,x\in\mathbb{F}_8$, $a\ne0$, как-то переставляет элементы $\mathbb{F}_8$

[Vadim2006]

А можно поподробнее объяснить?
Я согласен что таких выражений 56 штук, но почему а не равно нулю, и почему это погруппа S8?

[RIP]

Vadim2006 писал(а):

почему а не равно нулю

Потому что при $a=0$ получаем не биекцию.

Vadim2006 писал(а):

почему это погруппа S8

Потому что в $\mathbb{F}_8$ ровно 8 элементов.