Некоторые понятия механики

[Module]

Помогите, пожалуйста, разобраться с некоторыми понятиями теоретической механики. Вот такая задачка учебная есть: кинетическая энергия системы задана функцией $T=\frac{1}{2}(5\dot{q_1}^2-8\dot{q_1}\dot{q_2}+5\dot{q_2}^2)$, а потенциальная $U=\frac{1}{2}({q_1}^2+{q_2}^2)$. Найти нужно собственные колебания системы.
Так вот даже условие я толком не понимаю. Что за $q_i$? Обобщенные координаты, ведь правда?, ну а с точками - обобщенные скорости, значит?
Прекрасно, если это так. Ну а как же искать собственные колебания? Что это вообще значит - найти колебания?!

(конечно, мне нужно читать книжки, но будьте добры, уважаемые форумчане, объясните малограмотному гражданину РФ)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Oleg Zubelevich]

Можно показать, что существует замена координат $(q_1,q_2)\mapsto(x_1,x_2)$ такая, что в новых координатах кинетическая энергия имеет вид $T=\frac{1}{2}(\dot x_1^2+\dot x_2^2)$, а потенциальная имеет вид $V=\frac{1}{2}(\lambda_1 x_1^2+\lambda_2 x_2^2)$
Уравнения Лагранжа в этих координатах записываются так: $\ddot x_i+\lambda_i x_i=0$ Т.е. система распадается на два гармонических осциллятора c частотами $\omega_i^2=\lambda_i$. Это и есть собственные частоты системы. Дальше читайте книжки

[Munin]

Module в сообщении #746882 писал(а):

Что за $q_i$? Обобщенные координаты, ведь правда?, ну а с точками - обобщенные скорости, значит?

Правильно.

Module в сообщении #746882 писал(а):

Прекрасно, если это так. Ну а как же искать собственные колебания? Что это вообще значит - найти колебания?!

Вам надо посмотреть тему "Малые колебания" в учебнике теормеханики. Например, в Ландау-Лифшице "Механика" ("Теоретическая физика" т. 1).

Суть в том, что в пространстве обобщённых координат система как-то колеблется вокруг своего минимума потенциальной энергии. Надо найти, как именно. Эти колебания имеют несколько частот, и складываются между собой линейно (линейность соблюдается только в малой окрестности). Вот эти частоты и соответствующие направления и надо найти.

Как пример, рассмотрите точку $(1,1),$ которая прикреплена к оси абсцисс пружиной жёсткости $k_1,$ а к оси ординат - пружиной жёсткости $k_2.$ (Можно пренебречь изменением направлений пружин при малых колебаниях.) Тогда по горизонтали она будет колебаться с частотой $\omega_2=\sqrt{k_2/m},$ а по вертикали - с частотой $\omega_1=\sqrt{k_1/m}.$ А если её отклонить в какую-то диагональную сторону - будет выписывать фигуры Лиссажу. Это уже не будет собственное колебание. Оно описывается в общем виде решением $r(t)=A_1e_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2e_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2).$ А два вот этих слагаемых - это собственные.