Второе показательное уравнение

[ain1984]

Помогите, пожалуйста, решить следующее уравнение:

$$3^{2x^2+6x-9}+4\cdot15^{x^2+3x-5}=3\cdot5^{2x^2+6x-9}$$

Привожу свою попытку решения:

Сделаем замену $x^2+3x-5=t$. Тогда $2x^2+6x-9=2x^2+6x-10+1=2t+1$

$$3^{2t+1}+4\cdot15^t=3\cdot5^{2t+1}$$

$$3\cdot3^{2t}+4\cdot15^t=3\cdot5^{2t}\cdot5$$

$$3\cdot3^{2t}+4\cdot15^t=15\cdot5^{2t}$$

$$3\cdot9^{t}+4\cdot15^t=15\cdot25^{t}$$

$$3\cdot9^{t}+4\cdot3^t\cdot5^t=15\cdot25^{t}$$

Что-то ничего не получается. Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так.

[mihailm]

разделите на $25^t$

[ain1984]

mihailm, спасибо. Сейчас попробую.

[sergei1961]

стандартное однородное уравнение вида:
$ax^2+by^2+cxy=0$.
Из него нельзя найти неизвестные, но можно найти их отношение. А обличие может быть и показательное уравнение, и тригонометрическое, и иррациональное...

[ain1984]

$$\frac{3\cdot9^{t}}{25^t}+\frac{4\cdot3^t}{5^t}=15$$

Сделаем замену:

$$\frac{3^t}{5^t}=z,$$

тогда получим:

$$3z^2+4z-15=0$$

Решая полученное квадратное уравнение, находим: $z_1=\frac53, z_2=-3$
Делая обратную замену, получим:

$$\left(\frac35\right)^t=\frac53\qquad \left(\frac35\right)^t=-3$$

Второе уравнение решений не имеет. Решая первое, получаем $t=-1$
Делая ещё раз обратную замену, получим:

$$x^2+3x-4=0$$

Решая полученное квадратное уравнение, имеем: $x_1=1, x_2=-4$
Всё получилось. Большое всем спасибо.

[bot]

(Оффтоп)

Интригующий заголовок - звучит как типа второе уравнение ... Лагранжа, к примеру.