Отражение в неоднородной среде

[svv]

Борн искал уравнения, в одно из которых входит только $\mathbf E$, а в другое — только $\mathbf H$. У него были для этого причины. Но ценой такого разделения является усложнение уравнений. Здесь лучше исходить из уравнений Максвелла для гармонического случая ($e^{-i\omega t}$). Подставим $\mathbf D=\varepsilon \mathbf E$, $\mathbf B=\mu \mathbf H, k=\frac{\omega}{c}$. Комплексные амплитуды обозначаем так же, как исходные поля.
$\begin{cases}\operatorname{rot}\mathbf H=-ik\varepsilon \mathbf E\\\operatorname{rot}\mathbf E=ik\mu \mathbf H\end{cases}$
Уравнения с дивергенциями являются следствием этих уравнений — выбрасываем. Записываем для компонент. $\partial_x=\partial_y=0$, отсюда $E_z=H_z=0$. Система распадается на две независимых:
$\begin{cases}\frac{\partial H_y}{\partial z}=ik\varepsilon E_x\\[1ex]\frac{\partial E_x}{\partial z}=ik\mu H_y\end{cases}\quad\quad\begin{cases}\frac{\partial H_x}{\partial z}=-ik\varepsilon E_y\\[1ex]\frac{\partial E_y}{\partial z}=-ik\mu H_x\end{cases}$
Простота уравнений объясняется тем, что $\varepsilon$ и $\mu$ не дифференцировались.
Достаточно решить первую систему, вторая получается заменой $(E_x, H_y)\to(E_y, -H_x)$.
Во втором уравнении положим $\mu=1$, продифференцируем по $z$ и выразим $\frac{\partial H_y}{\partial z}$ из первого уравнения. Получим:
$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}+k^2\varepsilon E_x=0$

[Munin]

svv в сообщении #749261 писал(а):

Уравнения с дивергенциями являются следствием этих уравнений — выбрасываем.

Нельзя ли поподробней?

[svv]

Уравнения Максвелла с дивергенцией в отсутствие источников имеют вид:
$\operatorname{div}\mathbf D=0$
$\operatorname{div}\mathbf B=0$
Подставляем $\mathbf D=\varepsilon \mathbf E, \mathbf B=\mu \mathbf H$:
$\operatorname{div}(\varepsilon \mathbf E)=0$
$\operatorname{div}(\mu \mathbf H)=0$
Тот же вид будет для комплексных амплитуд (которые я обозначаю так же, как и поля, зависящие от времени, без всяких точек — чтобы не портить красоту).

Но в таком смысле, для комплексных амплитуд, их можно получить из "роторных" уравнений
$\operatorname{rot}\mathbf H=-ik\varepsilon \mathbf E$
$\operatorname{rot}\mathbf E=ik\mu \mathbf H$
беря дивергенцию от обеих частей. Дивергенция ротора равна нулю, поэтому получаем
$\operatorname{div}(-ik\varepsilon \mathbf E)=0$
$\operatorname{div}(ik\mu \mathbf H)=0$
$k=\frac{\omega}{c}$ не зависит от координат — выносим из-под дивергенции. Так как мы рассматриваем монохроматическую волну, а не статический случай, $k\neq 0$, и на него можно сократить, получаем требуемые "дивергентные" уравнения.

[Munin]

svv в сообщении #749375 писал(а):

беря дивергенцию от обеих частей.

(Где тут смайлик, хлопающий себя по лбу?)

[svv]

Я беспокоился, что скорее будет непонятно, почему $E_z=0$ и $H_z=0$.
А вообще — это моя попытка писать лаконично. Надоело писать простыни.

Хочу добавить, что и случай с переменным $\mu$ ненамного сложнее. Надо обе части $\frac{\partial E_x}{\partial z}=ik\mu H_y$ разделить на $\mu$ и продифференцировать по $z$, затем подставить $\frac{\partial H_y}{\partial z}$ из первого уравнения. Получится:
$\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac 1 \mu \frac{\partial E_x}{\partial z}\right)+k^2\varepsilon E_x=0$, или
$\frac 1 \mu \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac 1 \mu \frac{\partial E_x}{\partial z}\right)+k^2\frac \varepsilon \mu E_x=0$
Теперь надо перейти к новой координате $\zeta$, связанной с $z$ уравнением $\frac{d\zeta}{dz}=\mu$, тогда уравнение примет почти тот же вид, что и при $\mu=1$:
$\frac{\partial^2 E_x}{\partial \zeta^2}+k^2\frac \varepsilon \mu E_x=0$
(привет, импеданс!)