Показательное уравнение

[ain1984]

Помогите, пожалуйста, решить показательное уравнение:

$$\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)^x+\left(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\right)^x=10$$

Единственное, что я вижу, можно сделать, это

$$\left(5+2\sqrt{6}\right)^{\frac{x}{2}}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{\frac{x}{2}}=10$$

Но это, по-видимому, ничего не даёт.
Подскажите, пожалуйста, как начать его решать.

[nnosipov]

Найдите произведение двух слагаемых в левой части уравнения.

[statistonline]

да тут ответ очевиден, смотрите на знаки вложенных корней.

[ain1984]

nnosipov
Произведение двух слагаемых в левой части уравнения равно $1$. Но я не понимаю, что это даёт.

[nnosipov]

Теперь Вы знаете и сумму двух чисел, и их произведение. Чему же равны сами числа?

[ain1984]

nnosipov
Сами числа - корни квадратного уравнения $x^2-10x+1=0$

[saygogoplz]

$a\cdot b=1$ и $b=1/a$, и значит из $a^x+b^x=10$ получим какое-то квадратное уравнение?

[ain1984]

saygogoplz
После замены $a^x=t$ получим квадратное уравнение $t^2-10t+1=0$

[sergei1961]

Функция возрастает, докажите через производную. Значит, принимает все свои значения только один раз. $x=2$ очевидно корень. Значит, при других не может принимать значения 10, оно уже принято. Всё.

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #745926 писал(а):

Функция возрастает

Где-то возрастает, а где-то и убывает.

[sergei1961]

$a^x+a^{-x}$ разве не везде возрастает при $a>0$?

[arseniiv]

А с чего бы ей это делать? Если $a\ne1$, $a^0 + a^0 = 2$, $a^1 + a^{-1} = a^{-1} + a^1$ отличается от 2. Чётных строго монотонных функций нет.

[Nemiroff]

sergei1961 в сообщении #745961 писал(а):

$a^x+a^{-x}$ разве не везде возрастает при $a>0$?

Вам не кажется странным, что чётная функция всюду возрастает?

[saygogoplz]

ain1984 в сообщении #745916 писал(а):

saygogoplz
После замены $a^x=t$ получим квадратное уравнение $t^2-10t+1=0$

Ну так дальше то чего не решаете?? Все уже прозрачно...
Корни квадратного уравнения $a^x=5\pm2\sqrt{6}$, где $a=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$.
Отсюда корни исходного уравнения: $x=\pm2$. Неужели вы до этого не догадались после замены, которую сделали...

[ain1984]

saygogoplz
Я до этого догадался сразу после подсказки nnosipov, просто я не знал, что нужно привести решение до конца на форуме. Всем большое спасибо.