Башня из кубиков

[Ktina]

Можно ли составить из кубиков башню, которая имела бы конечный объём, но бесконечную площадь стен?

Я думаю, что да.

Шаг 0:

Сперва ставим кубик $1\times 1\times 1$.

Шаг 1:

Затем ставим друг на друга 4 кубика $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$ и водружаем получившийся модуль на кубик, поставленный на первом шаге.

Шаг 2:

Затем ставим друг на друга 16 кубиков $\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}$ и водружаем получившийся модуль на конструкцию, полученную на втором шаге.

++++++

Шаг $n$:

Затем ставим друг на друга $4^n$ кубиков $\frac{1}{2^n}\times\frac{1}{2^n}\times\frac{1}{2^n}$ и водружаем получившийся модуль на конструкцию, полученную на шаге $n-1$.

Объём каждого следующего модуля будет равен половине объёма предыдущего, что даёт нам сходящийся ряд с суммой, равной 2.
Площадь же стен у каждого из модулей равна 4, из чего следует, что площадь стен всей башни бесконечно большая.

А у них там другое решение (номер задачи 16.24 , условие на стр. 97, решение на стр. 143, нумерация страниц с головы поезда на верхней панели справа).
Они предлагают поставить друг на друга кубики с ребром

$$1,\quad\frac{1}{\sqrt 2},\quad\frac{1}{\sqrt 3},\quad\frac{1}{\sqrt 4},\dots$$

Чьё решение лучше?

[Otta]

Ktina в сообщении #745629 писал(а):

Площадь же стен у каждого из модулей равна 4, из чего следует, что площадь стен всей башни бесконечно большая.

Ничего не поняла)) Вы что, по всем граням кубиков считаете?
Высота башни 2. Площадь стен, соотв, 8. М?

Комп мой бедненький старенький отказывается грузить Вашу страничку, ну и не нада. Мысль проста: надо, чтобы ряд расходился, а ряд из квадратов сходился. Понятно, что это не единственный такой ряд. И можно придумать еще всяких разных. Но сказать, что какой-то из них будет "лучше"...

Годится любой.

[Ktina]

Otta в сообщении #745630 писал(а):

Ничего не поняла)) Вы что, по всем граням кубиков считаете?
Высота башни 2. Площадь стен, соотв, 8. М?

А почему высота 2?

[ewert]

Не важно, чему конкретно равна высота; важно, что Вы пытаетесь строить призму с фиксированным основанием. У них же принципиальна бесконечность высоты той башенки.

[Otta]

Ktina в сообщении #745632 писал(а):

А почему высота 2?

А, это потомушта я невнимательно прочитала и не обратила внимания на слова "друг на друга".

Нет, тогда годится. Только почему "лучше"?

[Ktina]

ewert в сообщении #745633 писал(а):

Не важно, чему конкретно равна высота; важно, что Вы пытаетесь строить призму с фиксированным основанием.

Почему с фиксированным? Оно в каждом следующем модуле вчетверо меньше по площади.

[ewert]

Да, тоже не вчитался. Тогда дело вкуса; на мой вкус, у них чуть-чуть компактнее.