Уравнение с параметром. Выделение неотрицательных выражений

[kis]

Цитата:

Число $\alpha$ подобрано так, что уравнение
$\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {\alpha ^2}{x^2} + 2 \alpha x (\sqrt 6 - \sqrt 3 ) = 6\sqrt 2 - 9\]$
имеет решение. Найдите это решение.

Возможно, тут нужно выделить полный квадрат. Пробовал раскрыть скобки $2 \alpha x(\sqrt{6}-\sqrt{3})$ и по-разному выделять полный квадрат. Пробовал выделить полный квадрат без раскрытия скобок, добавив недостающее слагаемое (воспользовался соображением, что $0 = a + (-a)$).
В общем, не получается. Помогите пожалуйста.

[Nemiroff]

А вы как полный квадрат выделяли? Вот у вас есть член $\alpha^2x^2$, дальше?

[kis]

исходное уравнение: $\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {\alpha ^2}{x^2} + 2 \alpha x (\sqrt 6 - \sqrt 3 ) = 6\sqrt 2 - 9\]$

1) не раскрывая скобки:
$\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {a^2}{x^2} + 2ax(\sqrt 6 - \sqrt 3 ) + [{(\sqrt 6 - \sqrt 3 )^2} - {(\sqrt 6 - \sqrt 3 )^2}] = 6\sqrt 2 - 9\]$ (выражение в квадратных скобках равно нулю)
$\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {(ax + \sqrt 6 - \sqrt 3 )^2} - {(\sqrt 6 - \sqrt 3 )^2} = 6\sqrt 2 - 9\]$

2) раскрывая скобки:
$\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {a^2}{x^2} + [2\sqrt 6 ax - 2\sqrt 3 ax] = 6\sqrt 2 - [6+3]\]$ (ключевые моменты оформил в квадратные скобки)
$\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {({a^2}{x^2} - 3)^2} + 2\sqrt 6 ax = 6\sqrt 2 - 6\]$

3) или так:
$\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {a^2}{x^2} + [2\sqrt 6 ax - 2\sqrt 3 ax] = 6\sqrt 2 - [6+3]\]$ (ключевые моменты оформил в квадратные скобки)
$\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {({a^2}{x^2} + 6)^2} - 2\sqrt 3 ax = 6\sqrt 2 - 3\]$

p.s. параметр обозначил как $a$, альфу $\alpha$ писать неудобно.

[Nemiroff]

$\[\sqrt {x - \sqrt 3 } + {(ax + \sqrt 6 - \sqrt 3 )^2} - {(\sqrt 6 - \sqrt 3 )^2} = 6\sqrt 2 - 9\]$
Чудесно. А теперь упростите вторую скобку.

[provincialka]

Перенесите все налево, все, кроме радикала, дает полный квадрат.

[kis]

ура! большое спасибо!
Nemiroff, как вы так быстро увидели ответ?

[Nemiroff]

kis в сообщении #745388 писал(а):

Nemiroff, как вы так быстро увидели ответ?

Не знаю, просто первым делом проверил, нет ли тут уже полного квадрата (как по совету выше). Плюс как-то сразу понятно, что шесть плюс три - это девять, а перекрестный корень похоже что дает подходящий член.

[kis]

понял. всем большое спасибо!