Функциональное уравнение для многочлена

[мат-ламер]

Найти все многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству $P(x^2+x+1)=P(x)P(x+1)$.

(Оффтоп)

Если честно, то решения я не знаю, поэтому комментировать ответы не буду. Сам хотел решить, но сейчас слишком занят. Поскольку в условии фигурирует многочлен, а не произвольная функция, то решение, как мне кажется, должно использовать многочленную специфику. Например, многочлен можно разложить на множители.

[Руст]

Если многочлен нулевой степени, то или $P(x)\equiv 0$ или $P(x)\equiv 1$.
Рассмотрим положительную степень. Тогда старший коэффициент 1 и $P(x)=\prod _i (x-x_i)$ (корни могут быть кратные).
Если $P(x_i)=0$, то $P(x_i^2+x_i+1)=0$ и $P(x_i-1)=0\to P((x_i-1)^+(x-i-1)+1)\equiv P(x_i^2-x_i-1)=0$.
Если имеется корень $x_i$, то $x_i^2+1\pm x_i$ так же корни многочлена.
Если $x_i$ действительный корень, то получим бесконечно много других действительных корней.
Если $x_j=a+bi,a\not =0$, то мнимая часть одного из корней $x_i^2+1\pm 1$ по абсолютной величине больше $|(2a\pm 1)b|>|b|$ мнимой части исходного корня, следовательно
получаем бесконечно много корней.
Когда корни мнимые возможен случай, когда они $\pm i$. В этом случае $x_i^2+1\pm x_i=\pm x_i$. В остальных случаях модуль одного нового корня больше модуля исходного и приходим к бесконечности корней. Таким образом возможен только случай $P(x)=(x^2+1)^n$. В этом случае
$P(x^2+x+1)=(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)^n=(x^2+1)^n(x^2+2x+2)^n=P(x)P(x+1).$