Дифференциальное неравенство

[rishelie]

Можно ли как-то оценить сверху функцию $y=y(t)$, для которой выполнено следующее дифференциальное неравенство?

$$ y'+f(t) \geqslant Cy/t $$

про $y$ известно, что она и ее производная положительны на отрезке $[0;1]$, $y(1)=y_1$.
Если бы не $f(t)$, все было бы замечательно - достаточно разделить переменные и проинтегрировать на $[t;1]$.
Но в данном случае $f(t)$ не ноль и не имеет какого-либо стандартного вида, по которому можно было бы придумать частное решение.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Математика (общие вопросы)»

[SpBTimes]

А про $f(t)$ что известно?

[Vince Diesel]

Можно попробовать применить неравенство Гронуолла. Сделать замену $s=1-t$, поскольку это неравенство обычно формулируется для возрастающей независимой переменной. Взять интеграл от обеих частей от $0$ до $x$ и, если интеграл от $f$ ограничен в нужную сторону, мб получится.

[mihiv]

Интегрируем обе части неравенства по отрезку $[t,1]$. Интеграл от правой части неравенства $C\int \limits _t^1\frac {y(u)}udu >Cy(t)\ln (\frac 1t)$, отсюда $y(t)<\dfrac {y_1+\int \limits _t^1 f(u)du}{1+C\ln (\frac 1t)}$

[rishelie]

Спасибо, то, что надо! )
И всего-то делов - интегрирование по частям ))

[rishelie]

и все-таки жаль, что при $f=0$ мы не получаем оценку такую же, как если бы решали неравенство вовсе без $f(t)$, т.е. интегрированием неравенства $$(\ln y)'\geqslant C/t,$
что дает $\ln(y_1)-\ln(y)\geqslant -C\ln(t)$ или $y\leqslant y_1 t^C$