Теория вероятности, склеивание процессов рождения-гибели

[Slumber]

Хочу узнать ваши соображения по поводу такой задачи и моих полутора землекопов.

У меня задано два процесса РГ:

Первый

$\left( \begin{matrix} a_0 & 1-a_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ a_1 & 0 & 1-a_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & a_2 & 0 & 1-a_2 & 0 & 0 & \cdots \\ 0& 0 & a_3 & 0 & 1-a_3 & 0 & \cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots \end{matrix} \right)$

... и второй, просто другие вероятности

$\left( \begin{matrix} b_0 & 1-b_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ b_1 & 0 & 1-b_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & b_2 & 0 & 1-b_2 & 0 & 0 & \cdots \\ 0& 0 & b_3 & 0 & 1-b_3 & 0 & \cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots \end{matrix} \right)$

Надо найти оценку (и, еще, может, матожидание) для момента склеивания (каплинга), когда $A(n) = B(n)$ -два наших процесса. То есть, найти $T = \inf \{n\geq 0: A(n)=B(n) \}$. Ну сначала и как минимум, показать, что меньше бесконечности.

В литературе в основном занимаются склеиванием одного процесса с самим собой, просто с другим начальным распределением.
Оттуда можно взять случай, когда оба процесса рекуррентны.
(Условие рекуррентности для процесса РГ есть в книжках, вроде бы хватит того, чтобы $\sum\limits_{k} \frac{a_1 a_2 a_3 \cdots a_k \makebox{\tiny - нижняя диагональ}}{(1-a_0)(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1 - a_k) \makebox{\tiny - верхняя диагональ}} = \infty$ ).

Тогда можно приспособить результат, что $T \leq \max(\tau_A, \tau_B)$, где тау - их время пересечения нуля, конечное п.н., так как процессы рекуррентны (несмотря на разные начальные распределения, ноль, как и другие точки, будут достижимы - давайте еще введем неприводимость(irreducible - из любого $i$ любое $j$ достижимо с ненулевой вероятностью) и апериодичность). Картинка есть тут https://notendur.hi.is/hermann/iid/csr/samples/chapter2.ps.

Вопрос, что делать в более-менее общем случае. Опять-таки, для каплинга одного и того же процесса $Y(n)$ с разными начальными распределениями $\nu, \mu$ делают следующее - вычитают их, то есть процесс $\nu Y(n) - \mu Y(n) = Y'(n) - Y''(n)$ является симметричным апериодичным начальным блужданием (так как эта пара - одинаково распределены) с нулевым матожиданием, потому рекуррентен, а значит бывает в нуле - а это и есть момент каплинга, и он, выходит, конечен.
Например, это делает Нуммелин на стр 99 http://www.itpub.net/forum.php?mod=attachment&aid=ODM1OTQ5fDg1OWVlZDU3fDEzNzMyMTAwMzl8MHww или гуру каплинга Линдволл (рипнуто с jstor'а) http://d.cc.ua/misc/lindvall_coupling_random_walks_and_renewal.pdf.
А оценку для такого Линдволл посчитал, она равна $O(n^{1/2})$.

Я вычитаю, у меня оно будет несимметрично в общем случае (обозначу этот процесс $Z(n)$):

$ 0, \quad a_n b_n + (1-a_n)(1-b_n)$
$ 2, \quad a_n - a_n b_n =: \mu_n $
$-2, \quad &b_n - a_n b_n =: \nu_n $

Вроде бы это снова процесс РГ, ну только с возможностью залипания в $i$-м состоянии (у меня время в шагах - n, нет этих экспонент), для него по идее справедливы снова формулы рекуррентности, то есть для положительной рекуррентности (эргодичности) надо
$\sum\limits_{n}^{\infty} \frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2 \cdots \makebox{\tiny - верхняя диагональ}}{\nu_1 \nu_2 \nu_3 \makebox{\tiny - нижняя диагональ со сдвигом}} < \infty$ и $\sum\limits_{n}^{\infty} \frac{\nu_0 \nu_1 \nu_2 \makebox{\tiny - нижняя диагональ}}{\mu_0 \mu_1 \mu_2 \cdots \makebox{\tiny - верхняя диагональ}} = \infty$. Ну это можно посмотреть. Кажется, мы можем использовать для $Z(n)$ любые стандартные теоремы, просто игнорируя вероятность залипания.

Создается впечатление, что для нашей пары процессов РГ склеивание с конечным временем точно существует, т.т.т.,к. $Z(n)$ рекуррентен. Если это не так, это будет очень сложно, сходимости может и не быть - уже для каплинга одного транзиентного блуждания есть контрпример у Холландера, стр 34
http://websites.math.leidenuniv.nl/probability/lecturenotes/CouplingLectures.pdf , совпадает с zero-two law в статье Линдволла.

Во-вторых, я не вижу разницы в этом случае между positive recurrent и null recurrent.

Нас для $Z(n)$ интересует только рекуррентность как таковая, по определению - чтобы ноль был рекуррентным состоянием, то есть
$P(Z(n) = 0 \makebox{ для бесконечно многих n}) = 1$
(для случайного блуждания эта вероятность всегда 0 или 1 по одному из законов нуля и единицы, и где-то доказывается, что для случайного блуждания если 0 - рекуррентное состояние, то любое другое возможное - тоже, как упражнение - тут http://www.math.tau.ac.il/~peledron/Teaching/RW_and_BM_2011/scribe4.pdf).
"State i is recurrent (or persistent) if it is not transient. Recurrent states have finite hitting time with probability 1." - Википедия.
"State i is positive recurrent (or non-null persistent) if Mi is finite; otherwise, state i is null recurrent (or null persistent)." - Речь о матожидании.

Но меня немного сбивает с толку другое определение, что
Positive reccurrent: $P(Z(n)=j) \rightarrow \pi_j$ при $n \rightarrow \infty$ - стемится к стационарному распределению
И null recurrent - это когда
$P(Z(n)=j) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.


Как можно посчитать хотя бы грубейшую оценку для $T = \inf \{n\geq 0: Z(n)=0 \}$ и его матожидания?