Как считать когомологии?

[Chernoknizhnik]

Расскажите, пожалуйста, как считать когомологии де Рама. Да и вообще, зачем они нужны? (последнее пока что менее актуально для меня).

На руках у меня только определение. Ну еще теорему Пуанкаре (когомологии $\mathbb{R}^n$ нулевые) я знаю. Вы бы не могли на каком-нибудь примере объяснить (тора, сферы, плоскости без чего-нибудь там...)?

Кроме того, буду благодарен за ссылку на литературу с соответствующими примерами.

[apriv]

Можно воспользоваться точной последовательностью Майера—Вьеториса (и чем-то еще). Можно воспользоваться теоремой сравнения и посчитать какие-нибудь другие когомологии, например, симплициальные. Вообще, много вариантов.