Гомотопные отображения

[Foreman Jay]

Здравствуйте! Нужно найти, какие из отображений $f_i : S^1 \to S^1$ гомотопны.

$$ f_1(x)=x; \quad f_2(x)=-x; \quad f_3(x)=\frac{x^2}{2\pi}; \quad f_4(x)=-\frac{x^2}{2\pi} \quad (x\in[0,2\pi]). $$

С одной стороны, не вижу, почему нельзя просто взять и сказать, что $F_t(x)=t f_i(x) + (1-t) f_j(x)$. С другой стороны, ну слишком это очевидно.

(Оффтоп)

И вроде как слышал, что $F_t(x)=x(1-2t)$ не есть гомотопия для $f_1(x)=x$ и $f_2(x)=-x$...

[Sonic86]

Гомотопны ли или нет $f_1$ c $f_3$? А $f_2$ c $f_4$?
А какие вообще бывают классы гомотопий $S^1 \to S^1$?

[Foreman Jay]

Sonic86 в сообщении #743677 писал(а):

А какие вообще бывают классы гомотопий $S^1 \to S^1$?

Кажется, далее определения класса гомотопий лектор не заходил, не знаю как ответить на этот вопрос.

Sonic86 в сообщении #743677 писал(а):

Гомотопны ли или нет $f_1$ c $f_3$? А $f_2$ c $f_4$?

Так я не вижу, почему бы всем $f_i(x)$ не быть попарно гомотопными через написанную выше известную формулу.

[apriv]

Foreman Jay в сообщении #743667 писал(а):

С одной стороны, не вижу, почему нельзя просто взять и сказать, что $F_t(x)=t f_i(x) + (1-t) f_j(x)$.

Потому что выражение в правой части не имеет смысла: там складываются и умножаются на скаляры точки окружности, и получается неизвестно что, а не точка окружности.

[Foreman Jay]

А, мы же не в $\mathbb{R}$ действуем-то!
А к не гомотопности отображений как подступиться можно?

[vanger]

Попробуйте подумать в сторону поиска инварианта относительно гомотопий.

[neo66]

Foreman Jay в сообщении #743667 писал(а):

Здравствуйте! Нужно найти, какие из отображений $f_i : S^1 \to S^1$ гомотопны.

$$ f_1(x)=x; \quad f_2(x)=-x; \quad f_3(x)=\frac{x^2}{2\pi}; \quad f_4(x)=-\frac{x^2}{2\pi} \quad (x\in[0,2\pi]). $$

С одной стороны, не вижу, почему нельзя просто взять и сказать, что $F_t(x)=t f_i(x) + (1-t) f_j(x)$.

Я бы посоветовал вам начать сначала. Ответьте на следующие вопросы:

1) Как вы определяете окружность? Что это такое?
2) Как точно определяются отображения $f_i$?

Пока вы не понимаете ответов на эти вопросы остальное обсуждение бессмысленно.

Например, вы пишите $x \in [0,2\pi]$. Тогда, что такое $f_2(1)=-1$?

[Foreman Jay]

neo66 в сообщении #743773 писал(а):

1) Как вы определяете окружность? Что это такое?

$S^1$ -- множество, гомеоморфное отрезку $[0, 1]$ со склеенными концами.
(Или лучше сказать, что это и есть окружность в $\mathbb{R}^2$, ГМТ, задаваемое уравнением..., а уже потом отметить гомеоморфность?)

neo66 в сообщении #743773 писал(а):

2) Как точно определяются отображения $f_i$?

$f_i$ берёт точку, которой в полярных координатах соответствует угол $x$, и переводит её в точку, которой там же соответствует угол $f_i(x)$.

Это приемлемые ответы?

[neo66]

Ну, хорошо, пусть будет так.
Рассмотрим семейство функций, которое вы предлагаете: $F_t(x)=t f_1(x) + (1-t) f_2(x)$. Возьмем одну функцию из этого семейства, соответствующую, скажем $t=\frac 3 4$, то есть $F_{\frac 3 4}(x)=\frac 1 2 x$. Это непрерывное отображение вашей окружности в себя? И, вообще, это отображение? Куда оно отображает точку вашей окружности, соответствующую углу $0$? А точку, соответствующую углу $2\pi$?

[alcoholist]

vanger в сообщении #743753 писал(а):

в сторону поиска инварианта относительно гомотопий

уж подсказали бы заветное слово))

-- Вс июл 07, 2013 01:53:33 --

Foreman Jay

просто нарисуйте графики этих отображений (на торах) и посмотрите какой в какой можно "отгомотопить"

[vanger]

alcoholist в сообщении #744009 писал(а):

уж подсказали бы заветное слово))

Но полные решения не приветствуются =)

Foreman Jay,
Выше было замечено, что рассматриваемые отображения особенны, например, тем, что $0$ и $2 \pi$ они переводят в одну и ту же точку. С этим можно связать "дискретную" характеристику отображений, которая не меняется при непрерывных преобразованиях гомотопии.