Пока формулирую гипотезу - про оптимальный набор множителей

[Sonic86]

ananova в сообщении #743646 писал(а):

При следующих справедливых сравнениях:

$$a(w-1)(w+1) \equiv 1 \mod x^3$$

$$ w^3 \equiv 1 \mod x^3$$

где $w$ - наименьшее целое неотрицательное число, для которого справедливо поставленное условие.
всегда справедливо: $a > w$

Неверно: если $(a,w)$ удовлетворяют сравнениям, то $(\forall k\in\mathbb{Z}) (a-kx^3,w)$ удовлетворяют сравнениям и тогда $a$ можно сделать сколь угодно малым.
(в случае повтора отвечать отказываюсь)

[ananova]

@Sonic86,

Повторяться не буду, но не сочтите за невежливость. Просто древние записи математиков также сложно понять, как самые современные. Хотел бы немного подучиться.. Вот эта запись $(\forall k\in\mathbb{Z}) (a-kx^3,w)$ мной растолковывается так: для каждого $k$, принадлежащего множеству целых положительных чисел, выполняется (существует, справедлива) пара (пары, наборы) чисел ($a-kx^3$ и $w$). Что то ведь не так я сформулировал. Т.к., при моей формулировке получается, что мы имеем отрицательное число $a-kx^3$, которое не должно фигурировать?

Перед написанием поста, открыл я книгу "Классическое введение в современную теорию чисел" Kenneth Ireland и Michael Rosen, но не помогло.

[Xaositect]

ananova в сообщении #743646 писал(а):

для целых неотрицательных чисел, если $w^3-1=nx^3$, то для $a<w$ не будет выполняться равенство $a(w^2-1)=kx^3$, где $k<n$.

Вот это уже формулировка, с которой можно работать. По всей видимости, имеется в виду, что $a$ также должно быть целым неотрицательным.

[ananova]

Xaositect
Спасибо! Вы абсолютно правы. Я чувствую, что с формулировкой не лады. Извиняюсь перед всеми за это.

[Xaositect]

Правда, в этой формулировке надо еще как-то ограничить $x$. Потому что при $x = 1$ равенства всегда верны. Возможно, $w < x$?

[ananova]

Xaositect в сообщении #743657 писал(а):

Возможно, $w < x$?

$w<x$ невозможно, т.к. $w^3$ образует кольцо "единиц" в поле $x^3$

Например: $18^3 \equiv 1 \pmod {7^3}$.

$a \equiv (w^2-1)^{-1} \pmod {x^3} $

[Sonic86]

ananova в сообщении #743654 писал(а):

Повторяться не буду, но не сочтите за невежливость. Просто древние записи математиков также сложно понять, как самые современные.

Намек понял пишу утверждение явно формулой целиком:
Пусть $M$ - множество решений системы
$a(w-1)(w+1) \equiv 1 \pmod {x^3}$
$ w^3 \equiv 1 \pmod {x^3}$
Тогда $(a,w,x)\in M \Rightarrow (a-kx^3,w,x)\in M$.
Потому не может быть для всех $a$ верно $a>w$.
Извиняюсь, если уже не актуально.

-- Пт июл 05, 2013 17:18:21 --

ananova в сообщении #743660 писал(а):

кольцо "единиц"

я думал, такое бывает только у ван дер Вардена

[Xaositect]

В общем, надо как-то исключить случай $x=1$

И еще, вроде там у Вас должно быть $a(w^2 - 1) - 1 = kx^3$.

[ananova]

Sonic86 в сообщении #743662 писал(а):

Тогда $(a,w,x)\in M \Rightarrow (a-kx^3,w,x)\in M$.
Потому не может быть для всех $a$ верно $a>w$.

Но, тогда, в этом контексте, $a$ может быть отрицательным? И, возможно, больше чем $w$ в кольце x^3?

Sonic86 в сообщении #743662 писал(а):

ananova в сообщении #743660
писал(а):
кольцо "единиц" я думал, такое бывает только у ван дер Вардена

Ну я быстро учусь. Если скажете что, это ассоциативное кольцо с единицей, то в будущем я так и буду называть.

[Xaositect]

Нашел контрпример.
$324^3\equiv 1 (\bmod\ 7^3),\quad 222\cdot (324^2 - 1)\equiv 1 (\bmod\ 7^3)$

[ananova]

Xaositect в сообщении #743664 писал(а):

В общем, надо как-то исключить случай $x=1$

И еще, вроде там у Вас должно быть $a(w^2 - 1) - 1 = kx^3$.

Это точно случай $x=1$ не интересен.
Что верно, то верно - $a(w^2 - 1) - 1 = kx^3$
а $w^3=nx^3$
Есть ли контр-пример, когда $k<n$? Sonic86 разъясняет мне, что есть.

-- Пт июл 05, 2013 20:35:37 --

Xaositect в сообщении #743666 писал(а):

Нашел контрпример.
$324^3\equiv 1 (\bmod\ 7^3),\quad 222\cdot (324^2 - 1)\equiv 1 (\bmod\ 7^3)$

ну - это не контрпример - это мое утверждение

$a=222$, $w=18$, $w^2 =324$, $w^3 \equiv 1 \pmod {x^3}$

[Xaositect]

ananova в сообщении #743665 писал(а):

Но, тогда, в этом контексте $a$ может быть отрицательным? И, возможно, больше чем $w$ в кольце x^3?

Давайте я попридираюсь: $x^3$ - это не кольцо, а число. А еще, конечных упорядоченных колец не бывает.

-- Пт июл 05, 2013 21:36:47 --

ananova в сообщении #743668 писал(а):

Xaositect в сообщении #743666 писал(а):

Нашел контрпример.
$324^3\equiv 1 (\bmod\ 7^3),\quad 222\cdot (324^2 - 1)\equiv 1 (\bmod\ 7^3)$

ну - это не контрпример - это мое утверждение

$a=222$, $w=18$, $w^2 =324$, $w^3 \equiv 1 \pmod {x^3}$

Почему $w = 18$? $w = 324$.

[ananova]

Xaositect в сообщении #743669 писал(а):

Давайте я попридираюсь: $x^3$ - это не кольцо, а число. А еще, конечных упорядоченных колец не бывает.

Возможно, я недоучка. Я бы назвал это расширенным конечном полем. Вроде в Википедии оно так называется - конечное поле образованное $x$, расширенное конечное поле, образованное $x^3$

Xaositect в сообщении #743669 писал(а):

Почему $w = 18$? $w = 324$.

Если в этом поле $w \cdot w \cdot w \equiv 1 \pmod {x^3}$, то будем логичны, не использовать $w^2$ вместо $w$, иначе необходимо будет переформулировать постановку задачи.

[Xaositect]

ananova в сообщении #743670 писал(а):

Если в этом поле $w \dot w \ dot w \equiv 1 \pmod {x^3}$, то будем логичны, не использовать w^2 вместо w, иначе необходимо будет переформулировать постановку задачи.

Я Вас не понимаю. Вы хотите $w^3\equiv 1 \pmod{x^3}$ или нет?

[ananova]

Xaositect в сообщении #743671 писал(а):

Я Вас не понимаю. Вы хотите $w^3\equiv 1 1 \pmod{x^3}$ или нет?

К сожалению (хотя к счастью), Вы быстро отвечаете, поэтому я не успел еще поправить формулу.

$11$ не надо. Верно, как везде - $w^3\equiv 1 \pmod{x^3}$

Речь идет о том, что мне надо получить результат, что нет такого $a$, который бы был меньше такого $w$.