Теорема Брауэра о неподвижной точке

[Dave]

Какие существуют наиболее общие формулировки теоремы Брауэра о неподвижной точке?
Всё, что смог обнаружить на данный момент, почему-то использует выпуклость фигурирующей там области. А причём здесь выпуклость? Разве не односвязность - ключевое и наиболее общее требование?
Также интересует, есть ли какие-либо обращения вышеупомянутой теоремы?

[мат-ламер]

Dave в сообщении #743278 писал(а):

Также интересует, есть ли какие-либо обращения вышеупомянутой теоремы?

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0-%D0%A2%D0%B8%D1%85%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0

[Oleg Zubelevich]

1) разумеется достаточно чтобы область была гомеоморфна выпуклой

2) в связи с теоремами о неподвижной точке см. понятие ретракт http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed-point_property

3) F. E. Browder, A new generalization of the Schauder
fixed point theorem, Math. Ann. 174, (1967), 285-290. -- это заодно обобщает и теорему Шаудера-Тихонова и даже теорему Брауэра и вообще очень понятно написано

4) http://projecteuclid.org/DPubS/Reposito ... 1050425912

[Dave]

мат-ламер, Теорема Шаудера — Тихонова - это обобщение, а не обращение, и то - на линейные пространства. А они-то меня как раз не интересуют. Меня интересуют топологические пространства общего вида, где понятие выпуклости вообще может не иметь смысла.

Oleg Zubelevich, спасибо за ссылки. Особенно полезной оказалась вторая, но не в связи с понятием ретракта, а вот этот абзац.

Цитата:

According to Brouwer fixed point theorem every compact and convex subset of an euclidean space has the FPP. Compactness alone does not imply the FPP and convexity is not even a topological property so it makes sense to ask how to topologically characterize the FPP. In 1932 Borsuk asked whether compactness together with contractibility could be a necessary and sufficient condition for the FPP to hold. The problem was open for 20 years until the conjecture was disproved by Kinoshita who found an example of a compact contractible space without the FPP.

Компактность я сомнению не подвергаю, а вот необходимость стягиваемости (contractibility) мне не понятна. Возьмём 3-мерный шар с вырезанным внутренним шаром или, что то же самое, произведение 3-мерной сферы и замкнутого отрезка прямой (кстати, по поводу гомеоморфности выпуклой области...). Разве это пространство не обладает свойством FPP? И разве оно стягивается в точку?
Да и достаточность сомнительна. Возьмите closed topologist's sine curve. В точку это пространство не стягивается, но свойством FPP, наоборот, обладает.
Так чем же Kinoshita сотоварищи занимались 20 лет?

[g______d]

Dave в сообщении #743425 писал(а):

Возьмём 3-мерный шар с вырезанным внутренним шаром или, что то же самое, произведение 3-мерной сферы и замкнутого отрезка прямой (кстати, по поводу гомеоморфности выпуклой области...). Разве это пространство не обладает свойством FPP?

Вложите сферу в $\mathbb R^4$ с центром в нуле и рассмотрите отображение $x\mapsto -x$. Где у него неподвижная точка?

-- 05.07.2013, 11:01 --

Dave в сообщении #743425 писал(а):

Возьмите closed topologist's sine curve. В точку это пространство не стягивается

Почему?

[Dave]

g______d в сообщении #743471 писал(а):

Вложите сферу в $\mathbb R^4$ с центром в нуле и рассмотрите отображение $x\mapsto -x$. Где у него неподвижная точка?

Да, спасибо. Всё оказалось банально. Только зачем тогда $\mathbb R^4$? Можно просто взять сферу в $\mathbb R^3$ с таким отображением. Она односвязна и компактна, но...
Это теорема о волосатом шаре сбила меня с толку. И лишний раз доказывает, что не всегда можно распространять локальные свойства на глобальные.
Вопрос с односвязностью снимается.

g______d в сообщении #743471 писал(а):

Dave в сообщении #743425 писал(а):

Возьмите closed topologist's sine curve. В точку это пространство не стягивается

Почему?

Если конечная точка находится на отрезке с $x=0$, то у точек с синусоиды $y$ всегда будет от $-1$ до $1$ и в точку они не свернутся. Если же конечная точка на синусоиде, то непонятно куда девать левый отрезок. Мы не сможем увеличить $x$, сохраняя непрерывность. Разве не так?

[мат-ламер]

Dave в сообщении #743425 писал(а):

мат-ламер, Теорема Шаудера — Тихонова - это обобщение, а не обращение,

Извиняюсь. Что-то я невнимательно стал читать. Буквы пропускаю. Прочёл действительно как обобщение.

[g______d]

Dave в сообщении #743547 писал(а):

Это теорема о волосатом шаре сбила меня с толку. И лишний раз доказывает, что не всегда можно распространять локальные свойства на глобальные.
Вопрос с односвязностью снимается.

Точно так же строятся контрпримеры, если в пространстве есть дырки любой размерности. Таким образом, мы получили условие, близкое к стягиваемости. Про то, необходима ли стягиваемость, я не знаю.

Dave в сообщении #743547 писал(а):

Если конечная точка находится на отрезке...

Да, наверное. Еще можно проще: стягиваемое пространство обязательно линейно связно, т. к. из любой точки существует путь в точку стягивания.

[Padawan]

Dave в сообщении #743425 писал(а):

Цитата:

According to Brouwer fixed point theorem every compact and convex subset of an euclidean space has the FPP. Compactness alone does not imply the FPP and convexity is not even a topological property so it makes sense to ask how to topologically characterize the FPP. In 1932 Borsuk asked whether compactness together with contractibility could be a necessary and sufficient condition for the FPP to hold. The problem was open for 20 years until the conjecture was disproved by Kinoshita who found an example of a compact contractible space without the FPP.

Компактность я сомнению не подвергаю, а вот необходимость стягиваемости (contractibility) мне не понятна. Возьмём 3-мерный шар с вырезанным внутренним шаром или, что то же самое, произведение 3-мерной сферы и замкнутого отрезка прямой (кстати, по поводу гомеоморфности выпуклой области...). Разве это пространство не обладает свойством FPP? И разве оно стягивается в точку?
Да и достаточность сомнительна. Возьмите closed topologist's sine curve. В точку это пространство не стягивается, но свойством FPP, наоборот, обладает.
Так чем же Kinoshita сотоварищи занимались 20 лет?

Если в цитированном тексте из Википедии убрать necessary и оставить только sufficient, то все становится на свои места. Поправить надо, а то путают людей.

[Dave]

Padawan в сообщении #743806 писал(а):

Dave в сообщении #743425 писал(а):

Цитата:

According to Brouwer fixed point theorem every compact and convex subset of an euclidean space has the FPP. Compactness alone does not imply the FPP and convexity is not even a topological property so it makes sense to ask how to topologically characterize the FPP. In 1932 Borsuk asked whether compactness together with contractibility could be a necessary and sufficient condition for the FPP to hold. The problem was open for 20 years until the conjecture was disproved by Kinoshita who found an example of a compact contractible space without the FPP.

Компактность я сомнению не подвергаю, а вот необходимость стягиваемости (contractibility) мне не понятна. Возьмём 3-мерный шар с вырезанным внутренним шаром или, что то же самое, произведение 3-мерной сферы и замкнутого отрезка прямой (кстати, по поводу гомеоморфности выпуклой области...). Разве это пространство не обладает свойством FPP? И разве оно стягивается в точку?
Да и достаточность сомнительна. Возьмите closed topologist's sine curve. В точку это пространство не стягивается, но свойством FPP, наоборот, обладает.
Так чем же Kinoshita сотоварищи занимались 20 лет?

Если в цитированном тексте из Википедии убрать necessary и оставить только sufficient, то все становится на свои места. Поправить надо, а то путают людей.

Каюсь, и я немного напутал. closed topologist's sine curve опровергает необходимость, а не достаточность стягиваемости пространства в гипотезе Borsukа (если она там вообще была, конечно). А пример Kinoshitы опровергает достаточность. Кстати, кому интересно - могут найти его здесь. Эдакая картонная крышка от торта, в которую вложена бесконечно раскручивающаяся внаружу спираль.
А вообще, насколько я понял, проблема существования критерия FPP или хотя бы более-менее общего достаточного (топологического) условия открыта и по сей день.

[Padawan]

Добавим к условию компактности и стягиваемости условие локальной связности. Может это будет достаточным для FFP?

[g______d]

Padawan в сообщении #744040 писал(а):

Добавим к условию компактности и стягиваемости условие локальной связности. Может это будет достаточным для FFP?

Вроде неизвестно:

http://mathoverflow.net/questions/59796 ... nt-theorem