Помогите преобразовать

[fiztech]

Подскажите пожалуйста как преобразовать данное выражение , чтобы можно сделать было замену.

$\sqrt{ \frac{1}{2} (x-y)^2 - (x-y)^4 } = y^2 - 2x^2$

[ИСН]

У нас в магазине на углу, например, можно сделать замену 60 рублей на бутылку пива Lowenbrau Dunkel. А Вы хотите сделать замену чего на что?

[fiztech]

ИСН
Ввести новую переменную , чтобы только она одна фигурировала в уравнении.

[Otta]

А почему Вы думаете, что это а) возможно, б) необходимо, в) что-то Вам даст?
Какова исходная задача?

[fiztech]

$$$ \left\{ \begin{aligned} \sqrt{ \frac{1}{2} (x-y)^2 - (x-y)^4 } &= y^2 - 2x^2\\ y \ge 4x^4 +4yx^2 + \frac{1}{2} . \\ \end{aligned} \right. $$$

Вот полное условие

[mihailm]

а неравенство то надо преобразовывать?

[Otta]

fiztech в сообщении #742954 писал(а):

Вот полное условие

Нет, для полноты не хватает, что требуется в задаче.

[fiztech]

Найти все пары $(x,y)$ удовлетворяющие условию

[мат-ламер]

В матпакете график постройте.

[Otta]

мат-ламер в сообщении #742988 писал(а):

В матпакете график постройте.

Я строила. С учетом неравенства, складывается впечатление, что решений конечное количество. Без этого условия, конечно, это черт-те что.
Аналитически бы посмотреть.

[marij]

Это же последняя задача из экзамена на мехмате какого то года.У меня тоже как то он вызывал вопросы

[fiztech]

мат-ламер

на экзамене матпакета не будет же )) Я нашел только пока один ответ $(0; \frac{1}{2} ) $ Еще существует и второй

[Otta]

Правая часть уравнения удовлетворяет условию $y^2-2x^2\le 1/4$. Поэтому если пара $(x,y)$ является решением, то она обязана удовлетворять системе неравенств
$y^2-2x^2\le 1/4, y\ge 4x^4+4yx^2+1/2$.
Уже эта система неравенств имеет конечное число решений. Стоит сперва посмотреть точки пересечения границ. Их три: $(0,1/2), (1,-3/2), (-1,-3/2)$.
Что первая точка, кроме того, чтобы быть точкой пересечения границ областей, попутно является и единственной точкой пересечения областей для $|x|<1/2$, нетрудно обосновывается из соображений минимальности-максимальности.

Из пары двух следующих точек достаточно смотреть на одну, скажем, на $(-1,-3/2)$, в силу симметричности областей относительно оси ординат. Доказываем разный характер выпуклости наших кривых на промежутке $x<-1/2$ (одна вверх, другая вниз), и показываем, что в точке $x=-1$ у кривых общая касательная. Значит, они "смотрят в разные стороны" от этой касательной, и на промежутке $x<-1/2$ области, заданные нашими неравенствами, имеют ровно одну точку пересечения - $(-1,-3/2)$.

На промежутке $x>1/2$ единственной точкой пересечения областей будет оставшаяся точка $(1,-3/2)$.

Поскольку решения системы уравнение-неравенство могут находиться только среди этих трех точек, то, делая проверку, получим ответ.

[fiztech]

Otta

Спасибо )