Возможно ли исследовать такой функционал на экстремум?

[tpm01]

$\int_{0}^{1}[12(y'')^2-xy]dx$
$y(0)=y'(0)=0$
$y(2)=52/2$
$y'(2)=24$
Меня здесь сильно смущает уравнение Эйлера: получается $-x=0$, но это не дифференциальное уравнение.

[Ms-dos4]

Это как это у вас так получилось?
$\[\frac{{\partial L}}{{\partial y}} = - x\]$

$\[\frac{{\partial L}}{{\partial y'}} = 24y''\]$

$\[\frac{d}{{dx}}[\frac{{\partial L}}{{\partial y'}}] = 24y'''\]$

$\[\frac{{\partial L}}{{\partial y}} - \frac{d}{{dx}}\frac{{\partial L}}{{\partial y'}} = 0\]$

$\[24y''' + x = 0\]$

[tpm01]

Ms-dos4, а как это $\frac{\partial L}{\partial y'}=24y''$ у вас получилось?
У меня $\frac{\partial L}{\partial y'}=0$, там же выражение $L$ не зависит от первой производной.

[Ms-dos4]

tpm01
А, стоп, я слепой. Воспользуйтесь обобщением уравнения Лагранжа

$\[\frac{{\partial L}}{{\partial y}} - \frac{d}{{dx}}\frac{{\partial L}}{{\partial y'}} + \frac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}\frac{{\partial L}}{{\partial y''}} = 0\]$

$\[\begin{array}{l} \frac{{\partial L}}{{\partial y}} = - x\\ \frac{{\partial L}}{{\partial y'}} = 0\\ \frac{{\partial L}}{{\partial y''}} = 24y'' \end{array}\] $

$\[24{y^{IV}} - x = 0\]$

[tpm01]

Ms-dos4, спасибо огромное!