измеримые функции

[Oleg Zubelevich]

Имеется функция $f(x,y):\mathbb{R}^m_x\times\mathbb{R}_y\to \mathbb{R}$

и функция $u:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- измеримая

Какие по возможности общие условия надо наложить на $f$ что бы функция $x\mapsto f(x,u(x))$ оказалась измеритмой

[Padawan]

Борелевская

[Oleg Zubelevich]

Уточню. Т.е. если $f$ измерима по Борелю, а $u$ по Лебегу то $f(x,u(x))$ измерима по Лебегу?
А на что сослаться?

[Padawan]

Для непрерывных несложно доказывается, а борелевские получаются из непрерывных предельными переходами (в трансфинитном числе). В евклидовом пространстве (и в более общих, точное ограничение не помню) борелевские функцию совпадают с бэровскими функциями http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/604/.
Пусть $f(x,y)=\lim_{k\to\infty} f_k(x,y)$, где для бэровских функций $f_k$ измеримость по Лебегу функции $f_k(x,u(x))$ уже доказана, тогда $f(x,u(x))=\lim_{k\to\infty} f_k(x,u(x))$ тоже измерима по Лебегу. Отсюда по трасфинитной индукции следует, что $f(x,u(x))$ измерима по Лебегу для любой бэровской функции $f$.

[Otta]

Этот результат чаще всего, имхо, востребован в теории вероятностей и выглядит соответственно "Борелевская функция от случайного вектора (величины) является случайной величиной".

[Oleg Zubelevich]

Всем спасибо