Сопряжённые отображения

[mathal]

Я как-то совсем запутался с этим определением:
$U, V$ - векторные пространства; $U^*,V^*$ - двойственные к ним. $A:U \to V$; $A^*:V^* \to U^*$
Тогда

$$(A^*(f))(u):=f(A(u)), f \in V^*$$

Как я понимаю, идея в том, чтобы построить такое отображение $A^*(f)=g \in U^*$.
Но

$$A(u)=v \in V$$ $$f(v)=x \in K$$

[lena7]

$f(v)\in \mathbb R$ (или какое там у вас поле?). А какой вопрос, собственно?

[mathal]

1) Да, я ошибся, там $f(v) \in K$, где $K$ - поле.
2) При таком отображении $A^*$ мы получаем элемент из поля, а не функционал из $U^*$. Вот этого я не понимаю.

[ewert]

mathal в сообщении #742082 писал(а):

Тогда

$$(A^*(f))(u):=f(A(u)), f \in V^*$$

Лучше записывать в более симметричной форме:

$(u,A^*f)\equiv(Au,f).$

При этом:
$u\in U, \ A^*f\in U^*;$
$Au\in V, \ f\in V^*.$
В чём проблемы?

[lena7]

mathal в сообщении #742094 писал(а):

2) При таком отображении $A^*$ мы получаем элемент из поля, а не функционал из $U^*$. Вот этого я не понимаю.

$A^* f$ --- функционал на $U$.