кратность точек касания кривых второго порядка

[laptop]

добрый день
допустим, у меня имеется две кривые второго порядка ( парабола и окружность), которые касаются. Если заданы их уравнения, можно что-нибудь выразить из одного и подставить в другое уравнение. Получится нечто четвертой степени. Но вот вопрос, почему точка касания имеет обязательно кратность два?
В курсе аналитической геометрии говорилось про кратность два, когда рассматривался случай касания прямой к конике.

[SpBTimes]

laptop в сообщении #742039 писал(а):

Но вот вопрос, почему точка касания имеет обязательно кратность два?

Кривые проходят через одну и ту же точку, и в ней у них равны производные. Вот и два условия.

[ИСН]

laptop в сообщении #742039 писал(а):

Но вот вопрос, почему точка касания имеет обязательно кратность два?

Потому же, почему все кошки серы, а у всех твёрдых тел плотность 2.5.
Нипочему!
Не имеет!
Не обязательно!

[laptop]

Да. вот пример
$(x+4)^2+(y-\frac{7}{2})^2=\frac{125}{4},$
$y=x^2.$
точка (1,1) имеет кратность равную трем.

[SpBTimes]

А я прочитал - хотя бы два. Конечно, может и больше

[svv]

В примере laptop на самом деле трёх не будет, только два.

[ewert]

svv в сообщении #742262 писал(а):

В примере laptop на самом деле трёх не будет, только два.

Нет, всё-таки три (во всяком случае, если отладить арифметику -- я её не проверял). Вот несомненный пример на ту же тему: $x^2+y^2=2$ и $y=-x^2+x+1$ в точке $(1;1)$.

Там пафос в том, что радиус кривизны параболы меняется монотонно. И если в точке касания радиусы совпадают -- точка в силу монотонности радиуса оказывается именно третьего порядка.

[svv]

Я как раз про конкретную арифметику.

А так-то я не сомневаюсь. Я Вам и свой пример приведу. Берем параболу $y=x^2$ и пристраиваем к её нижней точке окружность так, чтобы кратность была $2$. Легко видеть, что на самом деле и третьи производные совпадают — обе равны нулю.

[ewert]

svv в сообщении #742271 писал(а):

Берем параболу $y=x^2$ и пристраиваем к её нижней точке окружность так, чтобы кратность была $2$. Легко видеть, что на самом деле и третьи производные совпадают — обе равны нулю.

Ну в этом-то случае и ежу понятно, что или два, или четыре. Интуитивно не вполне очевидным мог бы показаться только несимметричный случай.

[svv]

Погодите, что "или два, или четыре"? В моём примере, с Вашей точки зрения, кратность касания какая?

[Munin]

ewert в сообщении #742273 писал(а):

Интуитивно не вполне очевидным мог бы показаться только несимметричный случай.

А почему? Берём овал, наклоняем влево. Берём его копию, наклоняем вправо. Совмещаем нижними точками. По-моему, интуитивно очевидно.

-- 02.07.2013 00:50:05 --

svv в сообщении #742275 писал(а):

В моём примере, с Вашей точки зрения, кратность касания какая?

Исходя из сказанного вами:

svv в сообщении #742271 писал(а):

так, чтобы кратность была $2$.

- то 2 по построению :-)

[svv]

Munin
после слов "так, чтобы кратность была $2$" пропущено "А оно — фиг".

[ewert]

svv в сообщении #742275 писал(а):

В моём примере, с Вашей точки зрения, кратность касания какая?

Или два, или четыре.

Munin в сообщении #742276 писал(а):

А почему? Берём овал, наклоняем влево. Берём его копию, наклоняем вправо. Совмещаем нижними точками. По-моему, интуитивно очевидно.

Может, и очевидно, но я ничего не понял. Как наклоняем?... что с чем совмещаем?...

[Munin]

Берём эллипс, поворачиваем его вокруг центра на нецелое число $\times\tfrac{\pi}{4}.$ Его нижняя точка после поворота (с минимальным $y$) становится $P_1.$ Берём другой такой же эллипс, поворачиваем его на минус угол, на который был повёрнут первый эллипс. Нижняя точка второго эллипса $P_2.$ Параллельным переносом плоскости совмещаем $P_1$ и $P_2.$

И надеюсь, вы больше не будете такие вещи спрашивать, а будете сами учиться понимать простой русский язык.