Количество старших весов с заданной энергией

[Bulinator]

Рассмотрим свободную квантовую частицу на групповом многообразии простой компактной группы Ли $G$. Группа $G$, как обычно, действует на функции заданные на многообразии как $g\cdot f(x)=f(g^{-1}x), \quad \forall g,x\in G$.

Метрика на многообразии задается формой Киллинга-Картана. Коль скоро у нас есть метрика, мы можем определить оператор Лапласа $\Delta$, который действует на функции определенные на групповом многообразии.

Пусть теперь $\lambda$- старший интегральный вес представления алгебры Ли $\mathfrak{g}$ группы Ли $G$ на пространстве функций $L^2(G)$ и пусть $V_\lambda$- соответствующее весовое пространство(есть теорема, что в неприводимом представлении оно одномерно). Легко показать, что $V_\lambda$ является так же и собственным пространством оператора Лапласа и справедлива следующая формула(см. Taylor, "Noncommutative harmonic analysis"):

$$ \Delta v_\lambda=(|\lambda+\rho|^2-\rho^2)v_\lambda,\quad v_\lambda\in V_\lambda, \qquad\qquad\qquad\qquad(1) $$

где $\rho$- полусумма положительных корней(вкетор Вейля).


Вопрос:

Формула $(1)$ определяет спектр оператора Лапласа на группе. У меня возникла немного обратная задача. Пусть теперь задана энергия $E$ и надо найти все интегральные веса $\lambda$ удовлетворяющие условию:

$$ (|\lambda+\rho|^2-\rho^2)=E. $$

Кто-нибудь рассматривал подобную задачу? Есть литература?

-- Сб июн 29, 2013 11:24:34 --

Вернее задача у меня попроще: как-нибудь пронумеровать спектр $E_n$ и для каждого $n$ найти кол-во соответствующих этому значению $\lambda$ .