Третье уравнение с параметром

[ain1984]

При каких значениях $a$ уравнение

$$x^2+2ax\sqrt{a^2-3}+4=0$$

имеет один корень?

-- 29.06.2013, 11:44 --

Решение:

$$2ax\sqrt{a^2-3}=-x^2-4$$

$$2ax\sqrt{a^2-3}=-(x^2+4)$$

Возводим обе части в квадрат:

$$4a^2x^2(a^2-3)=x^4+8x^2+16$$

[Otta]

Нипонял. Квадратное уравнение, какие проблемы?

[ain1984]

Раскрывая скобки и приводя подобные, приходим к следующему уравнению:

$$x^4+(8+12a^2-4a^4)x^2+16=0$$

[Otta]

ain1984
Исходное уравнение - квадратное, как Вы не видите.

[ain1984]

Для того, чтобы данное уравнение имело один корень, нужно чтобы дискриминант был равен нулю. Получаем:

$$a^8-6a^6+5a^4+12a^2=0$$

-- 29.06.2013, 17:45 --

Otta
Простите, где Вы видите квадратное уравнение? У меня получилось биквадратное (относительно $x$), а что получилось относительно $a$, Вы видите.

[nnosipov]

ain1984 в сообщении #741557 писал(а):

Простите, где Вы видите квадратное уравнение?

Ну и дела. Это же самое первое уравнение, которое Вы написали в этой теме.

[Otta]

ain1984
Ыыыыы!!! Исходное - это вот это

ain1984 в сообщении #741477 писал(а):

При каких значениях $a$ уравнение

$$x^2+2ax\sqrt{a^2-3}+4=0$$

имеет один корень?

Вы можете продолжать решать Вашим способом, конечно. Но поскольку при возведении в квадрат Вы наприобретали лишних корней, то нехорошо требовать нулёвости дискриминанта. Не факт, что даже если корень Вашего нового уравнения неединственен, то исходное тоже имеет не один корень. И не факт, что если корень один, то исходное вообще их имеет.

И вообще, незачем создавать себе трудности.

[ain1984]

Otta
nnosipov
Действительно, как я этого не увидел?
Спасибо Вам большое!