Второе уравнение с параметром

[ain1984]

Уважаемые участники форума!

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующим заданием:

При каких значениях $m$ неравенство

$$\frac{x^2+mx-1}{2x^2-2x+3}<1$$

выполняется при всех $x$?

Решение:

$$\frac{x^2+mx-1-2x^2+2x-3}{2x^2-2x+3}<0$$

$$\frac{-x^2+(m+2)x-4}{2x^2-2x+3}<0$$

$$\frac{x^2-(m+2)x+4}{2x^2-2x+3}>0$$

Дробь больше нуля, когда и числитель, и знаменатель либо оба отрицательны, либо оба положительны.
Получаем две системы неравенств:

$$ \begin{cases} x^2-(m+2)x+4>0 \\ 2x^2-2x+3>0 \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-(m+2)x+4<0 \\ 2x^2-2x+3<0 \\ \end{cases} $$

-- 27.06.2013, 16:04 --

Не понимаю, что делать дальше. Помогите, пожалуйста.

-- 27.06.2013, 16:24 --

Вторую систему можно выбросить из рассмотрения, поскольку ветви параболы направлены вверх, а значит, она пересекает ось $x$.
Рассмотрим первую систему.
Нужно, чтобы вся парабола находилась выше оси $x$, а поэтому дискриминант обоих уравнений должен быть отрицательным. Получим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (m+2)^2-16<0 \\ -20<0 \end{cases} $$

$$m^2+4m-12<0$$

Решая данное неравенство, получим $m\in(-6;2)$
Всё ли у меня правильно? Проверьте, пожалуйста.

[bot]

Зачем две системы - не хватит ли одного квадратного неравенства?
Знаменатель бывает отрицательным?

[marij]

[Marty Lee]

у вас знаменатель всегда положителен, поэтому можно легче. вам требуется решить, когда числитель будет при любых x положителен. Здесь, понятно, дискриминант должен быть отрицателен. Без всяких систем.
Я не совсем понял вот этот момент у вас

Цитата:

Вторую систему можно выбросить из рассмотрения, поскольку ветви параболы направлены вверх, а значит, она пересекает ось $x$.

систему можно выкинуть, потому что дискриминант отрицателен.
У меня создается такое впечатление, что в более сложной подобной задаче вы пойдете неверным путем, поэтому лучше потренируйтесь в их решении. Можно просто посмотреть с5 из ЕГЭ, они, конечно, особо не блещут чем-то, но порешать можно, чтобы набить руку (хотя на самом деле такие задачи довольно бесполезны и даже в математике не нужны)
Ответ у вас правильный

[ain1984]

bot
Marty Lee
Спасибо Вам большое. Похоже, разобрался.