Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Nataly-Mak]

О борьбе с дырками…

Покажу одно из преобразований «плюс-минус», сохраняющее магическую константу квадрата и его свойства идеального квадрата:

5651-z 761 3671 5273+z 173 2111 1607+z 5231 3011 2081-z
5351 977+z 5843-z 47 * Potential scam. Censored *-z 2003+z 11
653 * Potential scam. Censored * 53 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 3491 2447
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 2711 4013
677 3251 521 * Potential scam. Censored * 1697 3323 5261
5903 3911-z 3929+z * Potential scam. Censored *+z 4937-z 563
3833+z 2903 683 4307-z 3803 5741 641-z 2243 5153 263+z

Здесь z – любое целое число.

Пример
$z=10$
Применив преобразование при таком значении z, получим следующий идеальный квадрат:

5641 761 3671 5283 173 * Potential scam. Censored * 2071
5351 987 5833 47 * Potential scam. Censored * 2013 11
653 * Potential scam. Censored * 53 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 3491 2447
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 2711 4013
677 3251 521 * Potential scam. Censored * 1697 3323 5261
5903 3901 3939 * Potential scam. Censored * 4927 563
3843 2903 683 4297 3803 5741 631 2243 5153 273

$K=5914, S=29570$

Ничего не могу сказать об эффективности данного преобразования в борьбе с дырками: слишком много изменяется элементов - 16 штук (пока не попробовала).
[Аналогичное преобразование испытывала в борьбе с дырками в пандиагональных квадратах 8-го порядка, там иногда удавалось ликвидировать одну-две дырки; в тех случаях в преобразовании участвовали только 8 элементов квадрата.]
Однако преобразование интересно само по себе.

-- Вт мар 03, 2015 09:17:32 --

Между тем программа у меня продолжает работать. Решений с 4 дырками находится довольно много (ниже несколько показано), с 6 дырками уже и не вывожу. А вот с 2 дырками пока не найдено ни одного решения.
Подумываю потихоньку, как бы оптимизировать программу. Шаблон использовать? У меня в этой программе шаблон не используется. Надо сделать шаблон по решению с 4 дырками - по самому близкому приближению к решению. Авось и полное решение найдётся по этому шаблону.

Решения с 4 дырками показываю, может, помогут кому-нибудь придумать, как эти решения довести до полных.
Совсем чуть-чуть остаётся, и никак

(Оффтоп)

2543 977 * Potential scam. Censored * 3011 3533 107 1523 
* Potential scam. Censored * 761 653 5393 4601 827 3581 
* Potential scam. Censored * 1907 683 * Potential scam. Censored * 
3701 53 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721 
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973 
* Potential scam. Censored * 3761 1823 4001 173 5861 2213 
2591 2237 4127 617 5231 4007 947 2681 3911 3221 
2333 5087 1313 521 5261 5153 4547 677 4481 197 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 3371

2663 4691 4391 947 113 * Potential scam. Censored * 3617 
2591 911 * Potential scam. Censored * 4007 17 4937 131 
5051 4217 743 263 5717 617 1787 5867 4547 761 
431 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 2447 
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721 
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 653 5483 
5153 1367 47 4127 5297 197 5651 5171 1697 863 
5783 977 * Potential scam. Censored * 1775 443 5003 3323 
2297 173 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 

683 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 257 
3677 47 * Potential scam. Censored * 4691 971 5897 107 
2663 4391 5843 911 443 131 * Potential scam. Censored * 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 3491 2447 
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721 
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973 
* Potential scam. Censored * 3761 1823 4001 677 3557 4013 
3581 1367 743 * Potential scam. Censored * 71 1523 3251 
5807 17 4943 1223 3257 101 * Potential scam. Censored * 
5657 4481 197 3701 1907 3833 53 3533 977 5231 

2237 4007 4013 521 4691 617 479 5531 3671 3803 
4937 2357 3701 863 * Potential scam. Censored * 563 107 
3911 131 5483 * Potential scam. Censored * 5657 4481 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 3491 2447 
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721 
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 2663 2381 
1433 257 5471 5801 761 1787 5843 431 5783 2003 
* Potential scam. Censored * 17 * Potential scam. Censored * 977 
2111 2243 383 * Potential scam. Censored * 1901 1907 3677 

2081 2111 3617 863 * Potential scam. Censored * 5657 17 
* Potential scam. Censored * 5741 * Potential scam. Censored * 
1223 5717 401 * Potential scam. Censored * 113 5651 3911 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 3491 2447 
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721 
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 1907 2213 
2003 263 5801 3671 383 3371 3677 5513 197 4691 
5843 11 5807 5273 2711 173 3053 3323 683 2693 
5897 257 3251 1367 2903 911 * Potential scam. Censored * 

911 * Potential scam. Censored * 5867 2333 101 3701 3011 
2243 743 3557 113 * Potential scam. Censored * 5531 4127 
* Potential scam. Censored * 5393 2111 443 5087 1697 11 
5741 617 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721 
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 5297 173 
5903 4217 827 5471 3803 521 2693 4595 107 1433 
1787 383 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 
* Potential scam. Censored * 47 2591 4691 431 2297 5003 

257 * Potential scam. Censored * 5351 4805 101 5237 617 
2243 5897 47 5843 683 * Potential scam. Censored * 5087 
3581 2213 5807 977 * Potential scam. Censored * 3677 11 
5861 263 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 
941 4817 1493 4751 983 * Potential scam. Censored * 4721 
1193 4733 971 * Potential scam. Censored * 4421 1097 4973 
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 5651 53 
* Potential scam. Censored * 3803 1223 4937 107 3701 2333 
827 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 
5297 677 5813 1109 563 383 * Potential scam. Censored *

[Nataly-Mak]

Возвращаюсь к идеальным квадратам 9-го порядка.
Выше я рассказала о частной формуле таких квадратов, в которой всего 12 свободных переменных из 40.
Формулу реализовала, программу покрутила, пока ничего не нашла. Как я уже говорила, палка о двух концах. Уменьшение количества свободных переменных сокращает перебор, но сильно ограничивает пространство решений.
Найти решения, обладающие такими дополнительными свойствами, сложнее, нежели найти любой идеальный квадрат.

Поэтому получаю общую формулу идеальных квадратов 9-го порядка:

X(1) = (2*X(32)-2*X(34)+2*X(16)-2*X(18)- K+2*X(24)+2*X(8)-2*X(26)+2*X(40))/2 
X(11) = - X(32)- X(6)- X(34)+ X(35)-2*X(36)+2*X(10)- X(16)- X(12)-2*X(18)- X(7)+ X(20)-2*X(2) - X(22)+4*K- X(26)- X(27)+ X(28)- X(29)+2*X(30)+2*X(40) 
X(14) = - X(32)- X(6)- X(16)- X(12)- X(2)- X(22)+5*K- X(24)- X(8)- X(4) 
X(15) = 3*X(32)+3*X(6)+ X(34)- X(35)+3*X(36)-4*X(10)- X(13)+2*X(16)+2*X(12)+2*X(18)+2*X(7) -2*X(20)+4*X(2)+3*X(22)-9*K+ X(24)+2*X(8)+2*X(26)+2*X(27)- X(28) + X(29)-3*X(30)+ X(4)-3*X(40) 
X(17) = (-2*X(32)-2*X(6)-2*X(36)+2*X(10)-2*X(16)-2*X(12)-2*X(18)-2*X(7)+2*X(20) -2*X(2)-2*X(22)+9*K-2*X(8)-2*X(26)-2*X(27)+2*X(30)+2*X(40)) /2 
X(19) = -(-2*X(6)-4*X(34)+2*X(35)-4*X(36)+6*X(10)-6*X(18)-2*X(7)+4*X(20)+2*X(3) -2*X(2)-2*X(22)-3*K+2*X(24)+2*X(8)-4*X(26)-2*X(27)+4*X(28) -2*X(29)+4*X(30)+2*X(4)+6*X(40)) /2 
X(21) = 2*X(32)+2*X(6)- X(35)+ X(36)-2*X(10)- X(13)+2*X(16)+ X(12)+2*X(7)- X(20)+2*X(2)+ X(22) -4*K+ X(24)+2*X(8)-2*X(30)+ X(4)- X(40) 
X(23) = - X(32)- X(6)+ X(34)+ X(35)+ X(10)- X(16)- X(12)+ X(18)- X(7)- X(3)- X(2)- X(22)+3*K - X(24)- X(8)+ X(29)+ X(30)- X(4) 
X(25) = - X(32)-2*X(6)-3*X(34)+ X(35)-3*X(36)+4*X(10)+ X(13)- X(16)-4*X(18)-2*X(7)+2*X(20) +2*X(3)-2*X(2)-2*X(22)+4*K-3*X(26)-2*X(27)+2*X(28)-2*X(29) +3*X(30)+ X(4)+4*X(40) 
X(31) = X(32)+2*X(6)- X(35)+ X(36)-2*X(10)- X(13)+ X(16)+ X(12)+ X(18)+ X(7)- X(20)+2*X(2)+ X(22) -2*K+ X(24)+ X(8)+ X(26)+ X(27)- X(28)-2*X(30)-2*X(40) 
X(33) = (-4*X(32)-4*X(6)-2*X(34)-4*X(36)+4*X(10)+2*X(13)-2*X(16)-2*X(12)-2*X(18)-2*X(7) +2*X(20)-4*X(2)-2*X(22)+13*K-2*X(24)-2*X(8)-2*X(26)-2*X(27) -2*X(29)+2*X(30)+4*X(40)) /2 
X(37) = - X(6)- X(34)+ X(35)- X(36)+ X(10)- X(16)+ X(12)- X(18)- X(7)+ X(20)+ X(3)- X(26)+ X(28)- X(29) + X(30)+ X(4)+ X(40) 
X(38) = X(34)+ X(36)- X(10)+ X(18)- X(20)+ K+ X(26)- X(28)- X(30)- X(40) 
X(39) = (-6*X(32)-8*X(6)-4*X(34)+4*X(35)-8*X(36)+12*X(10)+4*X(13)-4*X(16)-4*X(12)-8*X(18) -6*X(7)+6*X(20)+2*X(3)-8*X(2)-6*X(22)+17*K-2*X(24)-4*X(8) -6*X(26)-4*X(27)+4*X(28)-4*X(29)+8*X(30)+10*X(40)) /2 
X(5) = -(4*X(32)+2*X(6)-2*X(34)-2*X(10)+2*X(16)+2*X(12)-2*X(18)+2*X(7)-2*X(20) +2*X(3)+4*X(2)+2*X(22)-9*K+2*X(24)+4*X(8)-2*X(26)-2*X(30) +2*X(4)) /2 
X(9) = -(-2*X(32)+2*X(10)-2*X(12)+2*X(20)-2*X(2)-2*X(22)- K+2*X(30)+2*X(40))/2

В этой формуле мы имеем 24 свободные переменные из 40 при заданной константе ассоциативности K.
Напомню: константа ассоциативности квадрата 9-го порядка связана с его магической константой следующим соотношением: $S=9K/2$.

Проверяю формулу. Задаю константу ассоциативности и произвольные значения свободных элементов квадрата:

K=4226:X(2)=1429:X(3)=919:X(4)=3727:X(7)=3607:X(8)=1039:X(10)=223:X(24)=3583
X(28)=2089:X(30)=1753:X(34)=1669:X(35)=2143:X(36)=1543
X(40)=3877:X(13)=1933:X(6)=2119:X(32)=2545:X(29)=2533:X(27)=3283:X(26)=1471:X(22)=349:X(20)=1861:X(18)=2617:X(12)=1987:X(16)=853

Вычислив по формуле значения зависимых элементов квадрата, получим следующий идеальный квадрат:

4027  1429  919  * Potential scam. Censored *  1039  709 
223  * Potential scam. Censored *  907  853  3889  2617 
1759  1861  3703  349  * Potential scam. Censored *  3283 
* Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  1543 
* Potential scam. Censored *  2113  349  2797  2503  2059 
* Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  2137 
943  2755  2677  643  2767  3877  523  2365  2467 
1609  337  3373  3319  727  * Potential scam. Censored * 
3517  3187  619  2107  2785  499  3307  2797  199 

$K=4226, S=19017$

Решение в точности совпадает с исходным квадратом, из которого я взяла значения свободных элементов.
Можно считать это решение первым приближением к настоящему решению - идеальному квадрату из различных простых чисел.

Сейчас буду писать программу по общей формуле.
Минимизировать известное решение alexBlack с магической константой 24237, скорее всего, можно. Нижняя граница для магической константы таких квадратов равна 11493.

[Nataly-Mak]

Нахожу массив комплементарных пар простых чисел с константой комплементарности 2554:

3  5  * Potential scam. Censored *  173  197  257  281  311  317  347  401  443  467  491  557  641  647  653  677  683  743  821  857  887  941  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  2551 

Ровно 40 комплементарных пар.
Похоже, что идеальный квадрат 9-го порядка из простых чисел с такой константой ассоциативности построить невозможно.
Программа построения обычного магического квадрата (вероятностный алгоритм) с магической константой $S=9K/2=11493$ буксует.
Не является ли фатальной причиной число 3?

Обычный магический квадрат из следующего потенциального массива с константой ассоциативности 2722 построился по вероятностному алгоритму в долю секунды:

* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored *
1361 2609 449 * Potential scam. Censored * 173 653
1613 743 * Potential scam. Censored * 1979 1151 89
383 * Potential scam. Censored * 569 1709 389 1571
* Potential scam. Censored * 2441 2591 2621 113
911 2663 2549 * Potential scam. Censored * 2003
2333 179 * Potential scam. Censored * 191 2411 131
2711 1619 2543 59 101 1013 11 1493 2699
2633 * Potential scam. Censored * 719 1901 2459

$K=2722, S=12249$

Но из всего массива, состоящего из 82 комплементарных пар, сразу выбросила комплементарную пару (3,2719); осталось ровно 40 пар, и квадрат построился мгновенно.
Весь массив:

3  * Potential scam. Censored *  131  173  179  191  263  281  311  383  389  449  479  509  569  593  641  653  659  683  719  743  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  2719 

Теперь меня заинтересовал вопрос: а как построить из данного массива ассоциативый магический квадрат 9-го порядка?

Кстати, последовательность A188537 наименьших магических констант ассоциативных квадратов из простых чисел в OEIS обрывается на квадрате порядка 8.
Наименьший ассоциативный квадрат 9-го порядка из (различных) простых чисел ещё не найден.
Наверное, его ещё никто и не искал

[Nataly-Mak]

Цитата:

Но из всего массива, состоящего из 82 комплементарных пар...

Здесь опечатка, правильно так:

Но из всего массива, состоящего из 41 комплементарной пары...
(просто в голове висело количество всех чисел в массиве )

[Nataly-Mak]

Программу для поиска идеального квадрата 9-го порядка по общей формуле написала.
Пока только несколько приближений с 4 дырками, лучше никак – хоть застрелись

Это одно из решений с 4 дырками:

2767 1429 919 3727 883 757 3607 1039 3889
223 * Potential scam. Censored * 2647 853 2239 2503
3457 283 3769 2467 307 3583* 451* 1471 3229
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 1543
3613 2677 643 3259 2113 967 3583 1549 613
2683 2083 2557 373 * Potential scam. Censored * 1009
997 2755 3775* 643* 3919 1759 457 3943 769
* Potential scam. Censored * 349 2659 2617 727 4003
337 3187 619 3469 3343 499 3307 2797 1459

$K=4226, S=19017$

Неправильные элементы помечены звёздочкой. В решении две неправильные комплементарные пары, при этом одна из комплементарных пар - (643, 3583) из нужных простых чисел состоит, но она повторена!

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #985875 писал(а):

Наименьший ассоциативный квадрат 9-го порядка из (различных) простых чисел ещё не найден.
Наверное, его ещё никто и не искал

Теперь найден:

1283 311 1811 2213 1571 569 2039 1163 1289
773 653 2243 1619 2063 593 2693 383 1229
1979 * Potential scam. Censored * 809 2003 1709
1613 2531 101 131 2333 2441 2663 263 173
113 179 2711 449 1361 2273 11 2543 2609
* Potential scam. Censored * 2591 2621 191 1109
1013 719 * Potential scam. Censored * 23 1223 743
1493 2339 * Potential scam. Censored * 2069 1949
1433 1559 683 2153 1151 509 911 2411 1439

$K=2722, S=12249$

-- Вс мар 08, 2015 12:43:42 --

Nataly-Mak в сообщении #982768 писал(а):

Приведу нижние границы для магических констант идеальных квадратов из различных простых чисел, которые уже прикинула (возможны ошибки, просьба к коллегам проверить):

$n=9, S=11493$ центральный элемент 1277;
(известно решение alexBlack с магической константой 24237; минимальность решения не доказана); см. статью;

$n=11, S=24673$ центральный элемент 2243;

$n=13,S=49361$ центральный элемент 3797;

$n=15, S=74595$ центральный элемент 4973.

Для чётных порядков больше 8 пока не вычислила нижние границы, надо искать массивы комплементарных пар.

Для $n=9$ уточняю нижнюю границу: $S=12249$; найден наименьший ассоциативный квадрат с такой магической константой.

Далее привожу нижние границы для магических констант идеальных квадратов чётных порядков:

$n=10, S=4200$;

$n=12,S=8820$;

$n=14, S=16170$;

$n=16, S=21840$.

Первая прикидка. Надеюсь, что не ошиблась.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #987333 писал(а):

Приведу нижние границы для магических констант идеальных квадратов из различных простых чисел...

$n=11, S=24673$ центральный элемент 2243;

Уточняю нижнюю границу для магической константы идеального квадрата 11-го порядка - $S=26521$.
Только что найден минимальный ассоциативный квадрат данного порядка из различных простых чисел.

[svb]

Нижние границы магической константы идеальных квадратов, в которых не используется 3:

(Оффтоп)

$n=7, S=4487$
$n=8, S=2040$
$n=9, S=12249$
$n=10, S=4200$
$n=11, S=26521$
$n=12, S=8820$
$n=13, S=49439$
$n=14, S=16170$
$n=15, S=74595$
$n=16, S=21840$

Почти все совпадает с данными, приведенными Nataly-Mak

[Nataly-Mak]

Вроде не совпадает только для $n=13$.
Не работала ещё над этим ассоциативным квадратом.
Первая прикидка - массив, дающий магическую константу 49361. Но этот потенциальный массив состоит ровно из 84 комплементарных пар и содержит простое число 3 (сейчас его сгенерировала и посмотрела). Поэтому он отпадает.
А следующий потенциальный массив даёт магическую константу 49439. Он тоже содержит простое число 3, но в нём 85 комплементарных пар. Поэтому, выбросив комплементарную пару, содержащую число 3, мы получим массив из 84 пар. Вполне годится.

svb
спасибо за проверку.
Завтра займусь поиском наименьшего ассоциативного квадрата 13-го порядка из различных простых чисел.

[Nataly-Mak]

Покажу три пандиагональных квадрата 16-го порядка из различных простых чисел, иллюстрирующих три метода построения.

№1

19 67 83 109 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 2843 2549 1597
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 2753 2129 1933
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 2003 2633 2393
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 1069 337 593 569 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 487 1459 1039 353 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 5647 5527 4973
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 503 997 733 * Potential scam. Censored * 4729
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 53 79 103 127
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 149 163 167 193
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 263 269 257 383
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 443 659 563 797
* Potential scam. Censored * 1103 349 613 587 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * 499 1483 1049 367 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * 683 359 479 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 4723
* Potential scam. Censored * 599 1223 773 * Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 4093

$S=48048$

Этот квадрат построен с помощью решёток Россера из 16 пандиагональных квадратов 4-го порядка.
(см. http://www.natalimak1.narod.ru/kompl556.htm )

№2

1087 619 2089 607 1249 677 397 * Potential scam. Censored * 2053 151 1543 2213 2857
1481 1063 421 2801 271 2843 773 1549 857 * Potential scam. Censored * 1013 313 2027
179 1997 3121 2099 683 3019 1483 2221 443 * Potential scam. Censored * 223 601 907
2953 3089 2551 863 2557 1597 181 1367 2777 461 113 1723 1823 109 1409 1627
* Potential scam. Censored * 1721 101 2477 479 2683 2609 839 1019 233 2081 2719 769
193 3119 127 1913 2297 1873 751 139 * Potential scam. Censored * 3083 881 971 709
* Potential scam. Censored * 2803 947 * Potential scam. Censored * 811 2887 3137 241 1789
761 2693 2239 463 * Potential scam. Censored * 41 1619 2341 83 733 3079 1171 1303
1949 353 149 1097 2999 1607 937 293 * Potential scam. Censored * 1901 2473 2753 491
2293 1453 383 419 557 * Potential scam. Censored * 2087 2729 349 2879 307 2377 1601
2707 1987 401 1579 409 * Potential scam. Censored * 1153 29 1051 2467 131 1667 929
373 * Potential scam. Censored * 3041 * Potential scam. Censored * 2287 593 1553 2969 1783
467 541 * Potential scam. Censored * 431 2381 883 * Potential scam. Censored * 3049 673 2671
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 31 3023 1237 853 1277 2399 3011
2459 * Potential scam. Censored * 2909 1361 439 1867 1861 1567 347 2203 2153 1999
3109 1531 809 3067 2417 71 1979 1847 2389 457 911 2687 487 2141 571 727

$S=25200$

Этот квадрат получен с помощью преобразования 3-х квадрантов из ассоциативного квадрата, построенного методом точных ортогональных покрытий.
(см. post989356.html#p989356 )

№3 (автор Jarek)

(7,109,467,829,1423,349,1607,1129,197,701,1483,401,827,1997,613,1301), (127,809,1567,419,547,509,37,1409,1823,2011,503,31,743,691,1277,937), (1847,1031,1453,1361,1487,641,523,491,1153,1039,137,1699,73,79,47,379), (53,1531,263,211,773,1741,1103,241,277,569,1297,89,1867,1049,1087,1289), (643,1579,677,1609,283,1459,1097,859,617,11,1033,881,1637,191,733,131), (1747,1229,577,479,1237,359,877,719,563,601,293,1231,1193,151,233,1951), (1217,101,163,41,317,761,433,281,1123,769,947,2029,1543,1249,977,1489), (683,811,983,541,1493,661,863,1381,157,1499,607,1319,1447,269,487,239), (1663,739,857,1669,853,139,1307,499,647,1511,43,431,887,911,463,821), (97,179,1657,2069,457,839,997,449,1523,991,383,751,23,1171,1583,271), (17,311,1093,521,1427,1871,1303,1601,1723,1069,557,19,373,619,227,709), (443,331,173,1801,113,61,1223,1051,967,29,2287,1619,787,389,727,1439), (883,1759,797,229,823,439,257,919,587,71,223,251,1367,1571,1783,1481), (2557,1259,907,1019,367,929,337,149,83,421,953,1021,353,1291,1163,631), (347,1091,1213,461,107,1061,193,941,673,1549,2297,1009,13,199,1973,313), (1109,571,593,181,1733,1621,1283,1321,1327,599,397,659,307,1613,67,59)

$S=13440$

(см. http://trdb.org/Contest/PandiagonalMagi ... inalReport )

Совершенствуются алгоритмы – улучшаются результаты.
И это, скорее всего, ещё не минимальное решение. Согласно последовательности OEIS A164843 нижняя граница магической константы пандиагонального квадрата 16-го порядка из различных простых чисел равна 12088.

[Nataly-Mak]

В той же статье нашла пандиагональный квадрат 12-го порядка из различных простых чисел, построенный по решёткам Россера (из четырёх пандиагональных квадратов 6-го порядка), с магической константой 8820.
Интересно, что этот пандиагональный квадрат превращается в ассоциативный квадрат с помощью преобразования 3-х квадрантов (так как он составлен их комплементарных пар чисел).
Так вот, можно было мне и не строить сейчас методом точных ортогональных покрытий наименьший ассоциативный квадрат 12-го порядка, давно уже построила его. Ну, испытать новый метод не помешало и для порядка 12.

У Jarek результат лучше, у него пандиагональный квадрат данного порядка имеет магическую константу 5544.

Замечание: если ассоциативный квадрат мы превращаем в пандиагональный преобразованием 3-х квадрантов, то обратное превращение пандиагонального квадрата в ассоциативный, понятно, выполняется с помощью обратного преобразования. Но! Преобразование 3-х квадрантов совпадает с обратным ему преобразованием. В статье написано об обратном преобразовании, превращающем пандиагональный квадрат в ассоциативный.
Ну, и ещё замечу, что в последнее время я стала называть данное преобразование "преобразованием 3-х квадрантов" (а не 3-х квадратов).

[Nataly-Mak]

Попытка применить к построению идеального квадрата 9-го порядка метод точных ортогональных покрытий.

Возьмём следующий массив, состоящий из 52 комплементарных пар простых чисел с константой комплементарности 4226:

* Potential scam. Censored *  283  307  337  349  373  379  433  457  487  499  613  619  643  709  727  
757  769  853  883  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  1567  1579  
* Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  2437  2467  
* Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  3259  3307  
* Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  3877  3889  
* Potential scam. Censored *  * Potential scam. Censored *  4219 

Это ассоциативный квадрат, построенный из пары точных ортогональных покрытий массива (метод подробно описан в теме «Магические квадраты» ):

* Potential scam. Censored * 7 379 4027 73 3109
1543 97 2647 3877 967 3343 307 3889 2347
4159 2803 619 * Potential scam. Censored * 1789 2089
1933 2083 1429 769 433 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * 2113 997 1609 643 1669
373 757 2677 727 * Potential scam. Censored * 2293
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 67
1879 337 3919 883 3259 349 1579 4129 2683
1117 4153 199 3847 4219 613 2503 1459 907

$K=4226, S=19017$

Имеем:
первое точное покрытие массива (цепочки-строки):

* Potential scam. Censored * 7 379 4027 73 3109
1543 97 2647 3877 967 3343 307 3889 2347
4159 2803 619 * Potential scam. Censored * 1789 2089
1933 2083 1429 769 433 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * 2113 997 1609 643 1669
373 757 2677 727 * Potential scam. Censored * 2293
* Potential scam. Censored * * Potential scam. Censored * 67
1879 337 3919 883 3259 349 1579 4129 2683
1117 4153 199 3847 4219 613 2503 1459 907

Второе точное покрытие массива (цепочки-столбцы), ортогонально первому покрытию:

* Potential scam. Censored * 2557 373 2137 1879 1117
2767 97 2803 2083 3583 757 2437 337 4153
1723 2647 619 * Potential scam. Censored * 3919 199
3613 3877 1063 769 3229 727 1009 883 3847
7 967 2239 433 * Potential scam. Censored * 4219
379 3343 3217 3499 997 3457 3163 349 613
4027 307 * Potential scam. Censored * 3607 1579 2503
73 3889 1789 3469 643 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * 1669 2293 67 2683 907

Здесь всё чётко.
Теперь надо найти ещё два точных покрытия массива ортогональные друг другу и первым двум точным покрытиям. Одно покрытие будет цепочки-диагонали прямые, другое – цепочки-диагонали обратные.
Можно уже сразу написать по одной цепочке в искомых точных покрытиях массива.

Прямая диагональ (главная):

* Potential scam. Censored * 3457 3607 4129 907

Обратная диагональ (главная):

* Potential scam. Censored * 2113 727 3187 337 1117

Решаема ли поставленная задача

Коллеги, ау! У меня уже мозги всмятку Кто-нибудь поможет?

[Nataly-Mak]

Есть первый идеальный квадрат 10-го порядка из различных простых чисел
Долго же я его искала поиск был начат в 2008 г., как только alexBlack нашёл первые идеальные квадраты 7-го и 9-го порядков из простых чисел (идеалный квадрат 8-го порядка был найден мной).
Наконец-то поиск увенчался успехом.

Сейчас пытаюсь таким же методом найти идеальный квадрат 11-го порядка из различных простых чисел. Пока нет даже хорошего приближения к решению. Трудновато. Общая формула идеального квадрата 11-го порядка содержит 40 свободных переменных из 60 при заданной константе ассоциативности.
Вот эта формула:

(Оффтоп)

X(1) = -(-4*X(52)-2*X(55)+3*K-4*X(16)-2*X(8)-4*X(57)-4*X(22)+2*X(23)+4*X(15) +2*X(3)-2*X(26)-4*X(27)-2*X(28)+4*X(29)-2*X(30)+4*X(10)-2*X(58) -4*X(32)-6*X(33)+4*X(34)+2*X(35)-4*X(36)+6*X(4)-2*X(38)+2*X(39) +2*X(40)+6*X(9)+4*X(59)-2*X(43)-4*X(44)+2*X(45)-4*X(46)-4*X(47) +6*X(5)+2*X(7)) /4 
     
X(11) = -(4*X(53)+4*X(54)+6*X(55)-21*K-4*X(16)-2*X(8)-4*X(57)+4*X(22)+6*X(23) -4*X(15)-2*X(3)-2*X(26)-12*X(27)-2*X(28)+4*X(29)-2*X(30)+12*X(10) -2*X(58)-4*X(32)-2*X(33)+6*X(35)+6*X(4)-6*X(38)-6*X(39)+6*X(40) +2*X(9)+8*X(59)-
4*X(42)+2*X(43)+2*X(45)+8*X(47)+4*X(48)+2*X(5) +4*X(50)+6*X(7)) /4   

X(12) = (-4*X(52)+3*K-4*X(16)-2*X(8)-2*X(57)-2*X(22)+2*X(23)-4*X(27)-2*X(28) +4*X(29)+4*X(10)-4*X(32)-2*X(33)+2*X(34)+2*X(35)-2*X(36)+2*X(4) -2*X(38)+2*X(40)+4*X(9)+4*X(59)-2*X(42)-2*X(43)-2*X(44)+2*X(5) +2*X(50)+2*X(7)) /2 
  
X(13) = (-2*X(52)-2*X(53)-4*X(54)-2*X(55)+11*K+2*X(16)+2*X(8)-4*X(22)-6*X(23) +4*X(15)+2*X(3)+6*X(27)+2*X(28)-2*X(29)-4*X(10)+2*X(58)-4*X(35) +4*X(38)+4*X(39)-2*X(40)-4*X(59)-2*X(44)-2*X(45)-2*X(46)-6*X(47) +2*X(5)-2*X(50)-2*X(7)+2*X(60)) /2 
  
X(14) = (-2*X(55)+3*K-4*X(16)+2*X(8)+4*X(57)+2*X(23)-4*X(15)-2*X(3)-2*X(26) -2*X(28)+2*X(30)+2*X(58)+2*X(33)+2*X(35)-6*X(4)-2*X(38)-2*X(39) -2*X(40)+2*X(9)-2*X(43)+2*X(45)+4*X(46)+4*X(47)-2*X(5)+2*X(7)) /4
   
X(17) = 2*X(52)+ X(54)+ X(55)-5*K+ X(8)+ X(57)+2*X(22)+ X(23)-2*X(15)- X(3)- X(27)- X(29) +2*X(32)+ X(33)+ X(35)+ X(36)- X(4)- X(39)- X(9)+ X(42)+ X(43)+2*X(44)+ X(45) + X(46)+2*X(47)-2*X(5)- X(60) 
  
X(18) = - X(52)- X(53)- X(54)- X(55)+6*K+ X(16)-2*X(22)-2*X(23)+2*X(15)+2*X(3)+3*X(27) - X(29)-2*X(10)-2*X(35)+ X(38)+2*X(39)- X(40)-2*X(59)- X(45)- X(46)-3*X(47) - X(48)+ X(5)- X(50)- X(7)+ X(60)
   
X(19) = (-2*X(52)+4*X(53)+4*X(54)+2*X(55)-7*K-4*X(16)-4*X(8)-4*X(57)+6*X(23)-2*X(15) -2*X(3)-8*X(27)-2*X(28)+4*X(29)+8*X(10)-2*X(58)-4*X(32)-2*X(33) +2*X(34)+4*X(35)-2*X(36)+4*X(4)-4*X(38)-4*X(39)+4*X(40)+2*X(9) +6*X(59)-2*X(42)-2*X(44)+2*X(45)+4*X(47)+2*X(48)+2*X(5)+4*X(50) +2*X(7)) /2  
 
X(2) = (2*X(54)+ K-2*X(8)-2*X(57)+2*X(23)-2*X(27)+2*X(29)+2*X(10)-2*X(58)-2*X(33) +2*X(4)-2*X(38)+2*X(40)+2*X(59)-2*X(46)) /2 
  
X(20) = -(-8*X(52)-2*X(55)+ K-4*X(16)-2*X(8)-4*X(57)-8*X(22)+2*X(23)+4*X(15) +2*X(3)-2*X(26)-4*X(27)-2*X(28)+4*X(29)+2*X(30)+8*X(10)-2*X(58) -8*X(32)-6*X(33)+4*X(34)+2*X(35)-4*X(36)+6*X(4)-2*X(38)+2*X(39) +6*X(40)+6*X(9)+4*X(59)-4*X(42)-2*X(43)-4*X(44)+2*X(45)-4*X(46) -4*X(47)+6*X(5)+4*X(50)+2*X(7)+4*X(60)) /4
   
X(21) = -(-2*X(52)- K-2*X(16)-2*X(28)+2*X(58)+2*X(33)+2*X(34)-2*X(4)-2*X(40) +2*X(9)+2*X(46)) /2 
  
X(24) = 2*X(52)+ X(53)+2*X(54)+ X(55)-5*K+2*X(22)+2*X(23)-2*X(15)- X(3)-2*X(27)+2*X(10) - X(58)+ X(32)- X(34)+ X(35)- X(38)-2*X(39)+ X(40)- X(9)+ X(59)+ X(43)+ X(44)+ X(45) +3*X(47)- X(5)+ X(50)+ X(7)- X(60)  
 
X(25) = - X(54)+5*K+ X(16)-2*X(23)+ X(15)+ X(27)- X(29)- X(30)-2*X(10)- X(35)+ X(38)+ X(39) - X(40)- X(59)+ X(42)- X(45)-2*X(47)- X(50)- X(7)
   
X(31) = (-4*X(52)-2*X(53)-2*X(54)-2*X(55)+11*K-2*X(16)-4*X(22)-2*X(23)+2*X(15) +2*X(3)-2*X(26)-2*X(28)+2*X(58)-4*X(32)-2*X(33)+2*X(34)+2*X(39) +2*X(9)-2*X(42)-2*X(43)-2*X(44)-2*X(47)+2*X(5)+2*X(60)) /2 
  
X(37) = (4*X(53)+4*X(54)+2*X(55)+5*K-4*X(16)-2*X(8)-4*X(57)+6*X(23)-4*X(15)-2*X(3) -2*X(26)-8*X(27)-2*X(28)+4*X(29)+2*X(30)+8*X(10)-2*X(58)-4*X(32) -2*X(33)+2*X(35)-4*X(36)+2*X(4)-6*X(38)-6*X(39)+2*X(40)+2*X(9) +4*X(59)-4*X(42)-2*X(43)-4*X(44)+2*X(45)+4*X(47)+2*X(5)+4*X(50) +2*X(7)) /4 
  
X(41) = -(4*X(53)+4*X(54)+2*X(55)-17*K-4*X(16)-2*X(8)-4*X(57)+6*X(23)-4*X(15) -2*X(3)-2*X(26)-8*X(27)-2*X(28)+4*X(29)+2*X(30)+8*X(10)-2*X(58) -4*X(32)-2*X(33)+4*X(34)+6*X(35)+2*X(4)-2*X(38)-2*X(39)+6*X(40) +2*X(9)+4*X(59)+2*X(43)+2*X(45)+4*X(47)+2*X(5)+4*X(50)+2*X(7)) /4
   
X(49) = - X(52)- X(53)- X(54)- X(55)+6*K- X(22)- X(23)+ X(15)+ X(3)+ X(27)- X(10)- X(35)+ X(39) - X(59)- X(45)- X(46)-2*X(47)- X(48)- X(50)
   
X(51) = (- K+2*X(22)+2*X(23)-2*X(15)-2*X(3)-2*X(27)+2*X(10)+2*X(35)-2*X(39) +2*X(59)+2*X(47)) /2 
  
X(56) = X(52)- X(53)- X(54)- X(55)+5*K+2*X(16)+ X(8)+ X(57)-3*X(23)+2*X(15)+ X(3)+4*X(27) + X(28)-2*X(29)-4*X(10)+2*X(32)+ X(33)- X(34)-2*X(35)- X(4)+2*X(38)+2*X(39) -2*X(40)- X(9)-3*X(59)+2*X(42)+ X(44)- X(45)- X(46)-3*X(47)- X(48)-2*X(50) -2*X(7) 
  
X(6) = (-2*X(52)+2*X(53)+2*X(55)+ K-4*X(16)-2*X(8)-2*X(57)+2*X(23)-2*X(3)-2*X(26) -6*X(27)-2*X(28)+2*X(29)-2*X(30)+4*X(10)-4*X(32)-2*X(33)+2*X(34) +4*X(35)-2*X(36)+2*X(4)-2*X(38)-2*X(39)+2*X(40)+2*X(9)+4*X(59) -2*X(42)-2*X(44)+2*X(45)+2*X(47)+2*X(48)+2*X(5)+2*X(50)+2*X(7)) /2

Формулу проверила и на классическом, и на нетрадиционном идеальных квадратах.
Например, для классического идеального квадрата, вводим значения свободных элементов и константы ассоциативности (понятно, что в этом примере значения свободных элементов взяты из известного классического идеального квадрата; если их задать произвольно, то классический квадрат может и не получиться):

K=122
X(3)=74:X(4)=105:X(5)=15:X(7)=88:X(8)=119:X(9)=29:X(10)=60
X(15)=86:X(16)=117:X(22)=72:X(23)=84:X(26)=56:X(27)=98
X(28)=8:X(29)=39:X(30)=70:X(32)=22:X(33)=53:X(34)=65:X(35)=96:X(36)=6:X(38)=68:X(39)=110:X(40)=20
X(42)=82:X(43)=113:X(44)=23:X(45)=35:X(46)=77:X(47)=108:X(48)=18:X(50)=80:X(52)=32:X(53)=63
X(54)=94:X(55)=4:X(57)=47:X(58)=78:X(59)=120:X(60)=30

Вычислив по формуле значения зависимых элементов, получаем следующий классический идеальный квадрат:

1 * Potential scam. Censored * 29 60 91 
* Potential scam. Censored * 89 10 41 72 
* Potential scam. Censored * 101 22 53 
* Potential scam. Censored * 82 113 23 
* Potential scam. Censored * 32 63 94 4 
* Potential scam. Censored * 44 75 106 
118 28 59 90 11 42 73 104 14 45 87 
* Potential scam. Censored * 116 26 57 
* Potential scam. Censored * 66 97 7 38 
* Potential scam. Censored * 67 109 19 
* Potential scam. Censored * 48 79 121

$K=122, S=671$

[Nataly-Mak]

Пока только такое приближение к решению - идеальному квадрату 11-го порядка из различных простых чисел:

443* 5897 89 3041 2357 131 * Potential scam. Censored * 2273*
3167* 0 * Potential scam. Censored * 4787
* Potential scam. Censored * 587 557 5867 0 5417 281
* Potential scam. Censored * 1217 5237 2687 431 3797 839 4457
641 * Potential scam. Censored * 0 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * 0 * Potential scam. Censored * 1709
* Potential scam. Censored * 2927 0 * Potential scam. Censored *
* Potential scam. Censored * 3251 701 * Potential scam. Censored * 461
5657 521 0 71 * Potential scam. Censored * 5471 0 1721
* Potential scam. Censored * 1697 0 0 2771*
3665* 197 * Potential scam. Censored * 3581 2897 5849 41 5495*

$K=5938, S=32659$
Помеченные звёздочкой три комплементарные пары уже неправильные (в программе отпустила эти пары).
В дырках вообще всё плохо: перекос ужасный, то есть имеются отрицательные числа и числа слишком большие (не в диапазоне).
Вопреки ожиданию для порядка 11 всё намного хуже, чем для порядка 10. Что-то нужно кардинально менять в алгоритме.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #994924 писал(а):

Есть первый идеальный квадрат 10-го порядка из различных простых чисел
Долго же я его искала поиск был начат в 2008 г., как только alexBlack нашёл первые идеальные квадраты 7-го и 9-го порядков из простых чисел (идеалный квадрат 8-го порядка был найден мной).

Прошу прощения, ошиблась
Конечно, это было не в 2008, а в 2011 г.
(посмотрела топик со своим конкурсом здесь, и глянула почему-то не в правый верхний угол - на дату создания топика, а на дату своего появления на форуме; такой заскок бывает)