область интегрирования в полярных координатах

[Hurricane]

дан двойной интеграл с функцией в общем виде: $\iint f(x,y)dxdy$
функция ограничена: $y=2x$ $y=6$ $y=2$ $x=0$
график построила.

угол, который будет областью интегрирования, предположительно $\arctg(\frac12)$
значит, область интегрирования для внешнего интеграла будет от $0$ до $\arctg(\frac12)$ так?
$r=\frac{x\sqrt 5}{2}$
как найти промежуток (область внутреннего интеграла), в котором меняется радиус?
заранее благодарю

[mihailm]

Угол не тот надо считать, $\varphi$ начинается от положительной полуоси абсцисс и против часовой стрелки.
А чтобы найти от чего до чего меняется $r$, подставьте в выражение определяющее нижнюю границу вместо $x$ и $y$ их выражение через полярные угол и радиус, аналогично с верхней границей.

[Hurricane]

mihailm в сообщении #738619 писал(а):

угол не тот надо считать, $\varphi$ начинается от положительной полуоси абсцисс и против часовой стрелки

значит, угол будет равен $\arctg2$, а пределы от $\arctg2$ до 90 градусов? (не знаю, как написать в формуле Пи)

-- 20.06.2013, 09:56 --

mihailm в сообщении #738619 писал(а):

Угол не тот надо считать, $\varphi$ начинается от положительной полуоси абсцисс и против часовой стрелки.
А чтобы найти от чего до чего меняется $r$, подставьте в выражение определяющее нижнюю границу вместо $x$ и $y$ их выражение через полярные угол и радиус, аналогично с верхней границей.

а по радиусу получается, что $r=5x=\frac{5y}{2}$
тогда пределы по нему так и оставить $5x$ и $\frac{5y}{2}$ ???

[mihailm]

Hurricane в сообщении #738620 писал(а):

... по радиусу получается, что $r=5x=\frac{5y}{2}$
тогда пределы по нему так и оставить $5x$ и $\frac{5y}{2}$ ???

Не надо гадать, где выражение для нижней границы?

[Hurricane]

mihailm в сообщении #738622 писал(а):

Hurricane в сообщении #738620 писал(а):

... по радиусу получается, что $r=5x=\frac{5y}{2}$
тогда пределы по нему так и оставить $5x$ и $\frac{5y}{2}$ ???

Не надо гадать, где выражение для нижней границы?

Если для внутреннего интеграла, то даже не знаю. у меня есть только зависимость радиуса от $x$ и $y$

[mihailm]

Забейте пока на полярные координаты.
Расставьте пределы в обычных декартовых координатах, т.е. в $x$ и $y$

[Hurricane]

mihailm в сообщении #738624 писал(а):

Забейте пока на полярные координаты.
Расставьте пределы в обычных декартовых координатах, т.е. в $x$ и $y$

В обычных 6 и 2 по $y$, а по $x$ $\frac{y}{2}$ и $0$

[mihailm]

Сойдет)
Возьмите фиксированное $\varphi$ из вашего промежутка, что это $\varphi$ определяет в полярной системе координат?

Да, и формулы для перехода к полярной системе координат выпишите, они скоро пригодятся

[Hurricane]

То есть, для внешнего интеграла будут просто границы из декартовой системы $2$ и $6$? Просто это единственный вопрос, который остался открытым до экзамена, который через полчаса.

[mihailm]

Нет. То что надо делать я написал во втором сообщении - подставить в выражение определяющее нижнюю границу полярную замену