Проблема банкира и рекетира или как собрать урожай

[sergeykondr]

Добрый день.

Хочу поделиться своим решением задачи, связанной с достаточно частыми случаями в жизни. Для себя я решил ее для конкретной цели, но, в общем, задачу можно сформулировать так:
Существует класс процессов, результатом и ресурсоми которого является определенный продукт. В чистом виде колличество продукта во времени может быть выражено определенным классом функций, часто геометрическими функциями. При этом, есть необходимость использовать этот продукт вне процесса. Необходимо найти такие две функции с параметром, отражающем часть изымаемого из процесса продукта, которые отражали бы функцию роста продукта в процессе и функцию накопления продукта, изымаемого из этого процесса. Так же, найти такое значение параметра, при котором достигается максимальная скорость накопления продукта вне процесса.

Сформулировал как смог, если у Вас есть идеи, как эту формулировку привести к символьной логике, то я буду очень рад.

По сути существуют аналоги этой задачи в быту. Например, какую долю урожая надо снимать для дальнейшего использования, а какую долю использовать для засева, что бы с каждым годом получать все больше продуктов, при условии неограниченного поля. Другой вариант: какую долю прибыли должен отбирать рекетир у банкира, что бы с каждым разом эта доля была больше предыдущей, при условии, что банкир использует капитал.

Я не уверен в том, что мое решение действительно правильно. Возможно есть более точное решение.

Итак, мы имеет чистую функцию роста: $S(x) = x^2$
Для удобства так же введен параметр $k = \frac {m} {m+1}$



Исследуя прирощение функции и используя коэффициент k очевидно, что оно становится пропорционально $1-k$.


В итоге мы получаем $dS/dx = \frac{2x}{(m + 1)^2}$
$S(x) = \int \frac{2x}{(m + 1)^2} dx$
$S(x) = \frac{x^2}{(m + 1)^2}$

В свою очередь производная функции накопления так же пропорциональна этому коэффициенту, так что:
$C(x) = \int \frac{2mx}{(m + 1)^3} dx$
$C(x) = \frac{mx^2}{(m + 1)^3}$

В результате мы получаем вот такие функции и их изменения в зависимости от параметра $m$:


Очевидно, что скорость изменения функции накопления имеет максимум при определенном значении параметра $m$
Для того, что бы найти это значение можно найти определенный интеграл:
$C(0..1) = \int \frac{2mx}{(m + 1)^3} dx$
$C(m) = \frac{m}{(m + 1)^3}$


И, следовательно, производную:
$dC/dm = \frac{1}{(m + 1)^3}-$ $\frac{3m}{(m + 1)^4}$


Решая уравнение: $\frac{1}{(m + 1)^3}-$ $\frac{3m}{(m + 1)^4}=$ $0$
получаем: $m=0.5$
При этом $k = \frac {m} {m+1}=0.33(3)$

Итак, если при засеве поля площадь каждый раз удваивается, то мы должны брать из урожая 33%, при этом мы получим максимальный рост накоплений в течение длительного периода времени. То же самое с рекетиром. Если рекетир будет достаточно умен, то будет каждый раз забирать не более 33% прибыли.

Такую же штуку проделывал и с более сложными функциями.

С удовольствием выслушаю все Ваши комментарии, поправки и критику. А, так же, возможно, Вы предложите более интересные варианты этой задачи.

Так же предлагаю решить задачу с чистой функцией $S(x) = e^x$

С уважением,

Кондратьев Сергей

[svv]

Мне кажется, правильнее вместо функции роста $y=S(t)$ (где моё $t$ -- это Ваше $x$) использовать дифференциальное уравнение $\frac{dy}{dt}=f(y)$. Правая часть не зависит явно от времени, а только неявно через $y$. Это соответствует тому, что скорость роста определяется на самом деле не абсолютным моментом времени $t$ (ну, если только не засуха, не стихийное бедствие), а состоянием системы ($y$).

[sergeykondr]

svv в сообщении #738763 писал(а):

Мне кажется, правильнее вместо функции роста $y=S(t)$ (где моё $t$ -- это Ваше $x$) использовать дифференциальное уравнение $\frac{dy}{dt}=f(y)$. Правая часть не зависит явно от времени, а только неявно через $y$. Это соответствует тому, что скорость роста определяется на самом деле не абсолютным моментом времени $t$ (ну, если только не засуха, не стихийное бедствие), а состоянием системы ($y$).

Да! Вы совершенно правы! Именно эта мысль мне пришла в тот момент когда я искал решение. Моя логика была такой: $S=f(t)$ не может, в действительности отражать характер изменения функции, потому что каждый раз значение функции уменьшается пропорционально $k$. Следовательно, каждый раз изменяется приращение исходной функции, с чем мы и должны иметь дело. Именно поэтому я и начал с производной и из графика понял, что отображение значения функции после её уменьшения (если рассматривать окрестность $t+\Delta t$) на ось ординат пересекает функцию левее на некотором расстоянии $t+\Delta t - \Delta \gamma$. Кроме того, я понял что $\Delta \gamma$ так же пропорциональна $k=\frac {m}{m+1}$, как и само приращение. Изходя из того, что $\sum [$(t+\Delta t)(1 - \frac{m}{m+1})]$ (разумеется i-ые до бесконечности), в пределе получаем $t - t \frac {m}{m+1}$. То-есть, значение функции зависит не от $t$, а от $t - t \frac {m}{m+1}$. В результате мы получаем:

$f(t)=(t - t \frac {m}{m+1})^2$, что после преобразования дает нам:

$f(t) = \frac {t^2} {(m+1)^2} $, и производная соответственно равна: $df(t)/dt = \frac {2t} {(m+1)^2} $

А то, что скорость роста функции накопитея пропорциональна производной функции роста и коэффициенту $k=\frac {m}{m+1}$ очевидно из графика окрестности и, соответственно, равна:
$dC(t)/dt = \frac {2mt} {(m+1)^3} $, что и отражено в моем решении.

[Евгений Машеров]

Это задача оптимального управления. Она, применительно к экономике, поставлена была давно.
Но уже в 60-е, причём в начале, когда её начали решать, имея в виду "оптимальное управление экономикой СССР". обнаружилось, что действительная сложность не в решении полученный диффуров, а в целевой функции. Скажем, довольно очевидный критерий - максимизация суммарного потребления за N лет - приводил к формально наилучшей, но явно бессмысленной стратегии до определённого момента направлять все ресурсы на развитие производства, а с этого момента прекращать инвестиции в производство и тратить только на потребление, причём момент переключения определялся произвольно выбранным периодом N лет ("проблема горизонта"). Решение с дисконтированием будущих доходов (т.е. более поздние доходы входят в целевую функцию с меньшим весом, который убывает, например, экспоненциально) позволило получить осмысленное решение, но оно зависело от ставки дисконтирования (показателя экспоненты) или, в общем случае, от закона убывания ценности доходов в будущем, выбиравшихся волевым решением.