Функция Грина для ДУ II порядка

[rabbit-a]

Уважаемые математики, не могли бы Вы пояснить следующий вопрос, касающийся функции Грина. Я пытался разобраться по учебнику Трушкова В.В. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», с.232-235.

Доказали, что вместо общего уравнения второго порядка $p_2(x)y’’+p_1(x)y’+p_0(x)y=\phi(x)$ можно рассматривать уравнение $(p(x)\cdot y’)’+q(x)y=f(x) (2)$ вместе с граничными нулевыми условиями ${y(x_0)=y(x_1)=0 (3)}$

Функцией Грина для поставленной краевой задачи называется функция, удовлетворяющая условиям:

1) $G(x,s)$ непрерывна по $x$ при фиксированном $s$ при $x_0\leq x \leq x_1,\ x_0<s<x_1.$

2) $G(x,s)$ является решением соответствующего однородного уравнения $(p(x)\cdot y’)’+q(x)y=0$ на всем $[x_0;x_1]$

3) $G(x_0;s)=G(x_1;s)=0$

4) $G’(s+0,s)-G’(s-0,s)=\frac{1}{p(s)}$

Первый вопрос: как правильно понимать, что такое $s$? На $G(x,s)$ нужно смотреть как на функцию двух полноправных аргументов или $s$ - это параметр?

Далее написано:

«Убедимся, что $y(x)=\int_{x_0}^{x_1} G(x,s)\cdot f(s)ds$ является решением уравнения (2)

$y’(x)=\int_{x_0}^{x_1}G’_x(x,s)f(s) ds=\int_{x_0}^x G’_x(x,s)f(s) ds+\int_x^{x_1}G’_x(x,s)f(s) ds$

Здесь вроде, бы ясно, просто разбили на два интеграла по аддитивности, от “x” зависит $G$ ее и дифференцируем, порядок операции здесь можно поменять местами.

$y’’(x)=\int_{x_0}^x G’’(x,s)f(s) ds+G’_x(x,x-0)f(x)+\int_x^{x_1}G’’_x(x,s)f(s) ds-G’_x(x,x+0)(x)=…$

А вот здесь вопросы: что здесь за преобразования?
$G’_x(x,x-0)$ - это что предел слева в точке x?

Здесь продифференцировали как произведение?

$\left(\int_{x_0}^xG’_x(x,s) f(s) ds\right)’=\int_{x_0}^{x}G’’_x(x,s)f(s) +\int_{x_0}^x G’’_x(x,s)\left(\left.f(s)\right|_{s=x}\right)’ds= $

$\int_{x_0}^{x}G’’_x(x,s)f(s)ds+G’_x(x,x-0)\left(\int_{x_0}^xf(s)ds\right)’=\int_{x_0}^{x}G’’_x(x,s)f(s)ds+G’x(x,x-0)f(x)$

но почему тогда $G’(x,x-0)$ можно вынести из-под знака интеграла или здесь сделали что-то совсем другое?

Очень может быть, что я что-нибудь в самых началах анализа не понимаю, тогда просьба отослать меня к соответствующей теме анализа.

Почему одна производная с минусом , а вторая с плюсом?

[SpBTimes]

Умеете дифференцировать интеграл $I(x) = \int\limits_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) dy$ по $x$?

[rabbit-a]

Немножко, $I(x)=\int_{\phi_1(x)}^{ \phi_2(x)} f(x,y) dy$ дифференцируем по x

$I’_x=f(\phi_2(x),x)\cdot \phi_2’(x)-f(\phi_1(x),x)\cdot \phi_1’(x)+\int_{\phi_1(x)}^{ \phi_2(x)} f’_x(x,y) dy $

Выходит они первую производную представляли в виде суммы интегралов, чтобы в верхнем пределе возник $x$.

Теперь, я наверное должен на произведение смотреть как на единую функцию:
$G’_x(x,s)f(s):=Y(x,s)$

Да, тогда действительно получается, что

$\left(\int_{x_0}^xG’_x(x,s)f(s)ds\right)’_x= G’_x(x,x-0)f(x)\cdot x’-G’_x(x,x_0)f(x_0)\cdot (x_0)’+\int_{x_0}^x G’’_x(x,s)f(s)ds $


Первый слагаемое умножится на единичку, т.к. $(x)’=1,$ а второе слагаемое умножится на ноль, т.к. $(x_0)’=0.$

Аналогично будет со вторым интегралом:

$\left(\int_{x}^{x_1}G’_x(x,s)f(s)ds\right)’_x= G’_x(x,x+0)f(x)\cdot (x_1)’-G’_x(x,x+0)f(x)\cdot x’+\int_{x}^{x_1} G’’_x(x,s)f(s)ds $


и тогда понятно откуда возникает знак минус. Спасибо.

Но все равно остается вопрос: аргументы “x” и “s” равноправны или нет?

[SpBTimes]

Как же они могут быть равноправны?

[rabbit-a]

Может быть, я плохо сформулировал вопрос. Я вот что хотел бы узнать, вот например, я читаю книжку Р. Габасова и Ф.М. Кирилловой "Принцип максимума в теории оптимального управления", 2010.

На с.17 мне снова встречается функция Грина, там вроде бы совсем просто излагается физический смысл: i-й столбец из матрицы Грина (просто речь идет о вектор-функциях) $F_i(t,\tau)$
(в предыдущем посте вместо F использовалось G) представляет собой отклик в момент t системы $x'=A(t)x$ (здесь все векторы), которую в момент времени $\tau$ возмутили единичным вектором $e_i$. Отсюда я сделал вывод (быть может неправильный?), что и $t$ и $\tau$ интерпретируются как время и стало быть равноправны. Однако при доказательстве от первого аргумента требуется дифференцируемость по нему, а по второму функция может быть кусочно-непрерывной, тем самым аргументы неравноправны. Нельзя ли это еще как-нибудь пояснить, прокомментировать или указать на ошибку в моих догадках.

Заранее спасибо.

[ewert]

rabbit-a в сообщении #739016 писал(а):

Однако при доказательстве от первого аргумента требуется дифференцируемость по нему, а по второму функция может быть кусочно-непрерывной, тем самым аргументы неравноправны.

В изначальном определении про зависимость от второго аргумента ничего не видно, однако в конце концов оказывается, что она ровно настолько же гладкая, как и от первого, поскольку функция Грина попросту симметрична: $G(x,s)\equiv G(s,x)$. Симметричность функции Грина можно выводить из разных соображений; например, из того, что для неё есть условно явная формула:

$$G(x,s)=\dfrac1{wp}\cdot\begin{cases}\varphi_-(x)\varphi_+(s)\ &\text{ при }\ x<s, \\ \varphi_-(s)\varphi_+(x)\ &\text{ при }\ x>s,\end{cases}$$

где $\varphi_-(x)$ -- какое-либо решение дифуравнения, удовлетворяющее только левому граничному условию, $\varphi_+(x)$ -- только правому и $w(x)$ -- вронскиан этих решений.

[rabbit-a]

Да, интересно, значит аргументы равноправны, а формулу такую не встречал, приму к сведению, спасибо.