Сходимость последовательности пуассоновских распределений

[Evervoid]

Суть такова.
Пусть имеется последовательность случайных величин $\xi_1,\xi_2,\dots$, каждая из которых распределена по пуассоновскому закону: $\xi_k\sim \prod(\lambda_k)$.
При каком поведении $\lambda_k$ величина $\eta_n=\sum\limits_{k=1}^n \xi_k$ имеет предел? При существовании предела указать, какому распределению этот предел соответствует.

Понятно, что в случае сходимости ряда $\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k$ предел $\eta=\lim\limits_{n\to\infty}\eta_n$ имеет распределение Пуассона с параметром $\sum\limits_{k=1}^\infty \lambda_k$.
Но я не могу понять, что вообще будет в случае расходящегося ряда. Даже и не знаю, с чего в этом случае начинать.

[--mS--]

Почему бы не с характеристических функций?

[Evervoid]

Характеристическая функция для $\eta_n$ получится в пределе $e^{C(e^{it}-1)}$, где $C=\sum\limits_{k=0}^\infty \lambda_k$. В связи с этим как раз и возникают проблемы при $C=\infty$.

[--mS--]

Какие проблемы возникают при $C=\infty$? Как соотносится сходимость по распределению и поточечная сходимость характеристических функций?

[Evervoid]

Из сходимости характеристических функций следует сходимость по распределению. Но у нас здесь хар.функции сходятся к "ничему", т.е. у них не существует непрерывного предела. Значит ли это, что сходимости по распределению нет? Интуиция подсказывает, что да, то есть "если у функций распределения существует предельная, то и у хар.функций существует предельная, а в нашем случае предельной у хар.функций нет, значит, наша посылка неверна". Но я не уверен, что это потянет на строгое доказательство.

[Otta]

Evervoid

Evervoid в сообщении #738188 писал(а):

Из сходимости характеристических функций следует сходимость по распределению.

А наоборот?

[Evervoid]

Наоборот тоже. То есть, если у нас нет предела хар.функций, то нет предела и у функций распределения, так получается?

[Otta]

Получается так.