Иррациональная система уравнений

[ain1984]

Уважаемые участники форума!

Помогите, пожалуйста, разобраться с иррациональной системой уравнений:

$$\begin{cases} 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})=3\sqrt{xy} \\ x+y=5 \\ \end{cases}$$

-- 18.06.2013, 15:01 --

Сделаем замену $\sqrt{x}=a$, $\sqrt{y}=b$. Получим:

$$\begin{cases} 2(a+b)=3ab \\ a^2+b^2=5 \end{cases}$$

[Shadow]

Возьмите за новые переменные $a+b \text { и } ab$. Можно и сразу. Последние две уберите.

[ain1984]

Shadow
Большое спасибо. Сейчас попробую.

-- 18.06.2013, 15:53 --

$$ \begin{cases} 2(a+b)=3ab \\ a^2+2ab+b^2=5+2ab \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2(a+b)=3ab \\ (a+b)^2=5+2ab \end{cases} $$

Пусть $a+b=c$, $ab=d$, тогда

$$ \begin{cases} 2c=3d \\ c^2=5+2d \end{cases} $$

-- 18.06.2013, 16:34 --

Решая эту систему, получим:

$$ \begin{cases} d=2 \\ c=3 \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} d=-\frac{10}{9} \\ c=-\frac53 \end{cases} $$

[ain1984]

Делая обратную замену, получим:

$$ \begin{cases} ab=2 \\ a+b=3 \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} ab=-\frac{10}{9} \\ a+b=-\frac53 \end{cases} $$

-- 18.06.2013, 17:48 --

Решая эти две системы, получаем четыре решения:

$$ \begin{cases} a=1 \\ b=2 \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} a=-1 \\ b=1 \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} a=\frac{\sqrt{65}-15}{6} \\ b=\frac{\sqrt{65}-5}{6} \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} a=\frac{\sqrt{65}-5}{6} \\ b=\frac{-\sqrt{65}-5}{6} \\ \end{cases} $$

Делая ещё раз обратную замену, получим:

$$ \begin{cases} \sqrt{x}=1 \\ \sqrt{y}=2 \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} \sqrt{x}=-1 \\ \sqrt{y}=1 \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} \sqrt{x}=\frac{\sqrt{65}-15}{6} \\ \sqrt{y}=\frac{\sqrt{65}-5}{6} \\ \end{cases} \qquad \begin{cases} \sqrt{x}=\frac{\sqrt{65}-5}{6} \\ \sqrt{y}=\frac{-\sqrt{65}-5}{6} \\ \end{cases} $$

Вторая, третья и четвёртая системы уравнений решений не имеют.

-- 18.06.2013, 17:53 --

Помогите, пожалуйста, найти ошибку.

[Shadow]

ain1984, зачем усложняете себе жизнь? Вообще не надо рассматривать отрицательные $d,c,a,b$

$a=-1,b=1$ - откуда взялось такое решение?

[ain1984]

Shadow
Спасибо. Конечно Вы правы. А вторая система, конечно, не
$\begin{cases} a=-1 \\ b=1 \\ \end{cases}$
a
$\begin{cases} a=2 \\ b=1 \\ \end{cases}$

[mihailm]

(Оффтоп)

Тут не иррациональная система уравнений, а система иррациональных уравнений. Что значит исходный термин точно не скажу, это по всей видимости система неких уравнений ни одно из которых рационально через другие не выражается

[arseniiv]

(Оффтоп)

Было уже подумал, что это система, непонятно как появившаяся и приводящая разум в хаос.