Доказать, что нельзя получить преобразование Лапласа

[svv]

Понимаете, мы ж не можем найти интеграл в явном виде, да это и не нужно. Квадратичность проявляется в том, что под интегралом изображение сигнала для одного аргумента ($z$) умножается на изображение сигнала для другого аргумента ($s-z$). Целью является не интеграл взять (это невозможно, так как изображение неизвестно), а это самое изображение $F(s)$ найти как-то. При этом для линейной ситуации этого интеграла свёртки вообще не возникает. А здесь я могу сказать "ну, вот уравнение для изображения $F(s)$ у Вас есть, оно страшное (интегральное, ещё и нелинейное), если хотите, решайте", а про себя подумаю: "его фиг решишь, в данном случае вообще затея с преобразованием Лапласа смысла не имеет".

Понимаете? Обычно, когда дано линейное дифференциальное уравнение, этот метод сводит его к обыкновенному, недифференциальному, то есть упрощает его. А здесь ещё хуже получается, чем то, что было.

[swagastr]

Цитата:

Целью является не интеграл взять (это невозможно, так как изображение неизвестно), а это самое изображение найти как-то

Цитата:

ну, вот уравнение для изображения у Вас есть, оно страшное (интегральное, ещё и нелинейное), если хотите, решайте"

Я так понимаю, чтобы найти изображение произведения, нужно знать изображения каждого сигнала и взять интеграл от их произведения?Откуда мы можем знать какая в итоге зависимость получится после интегрирования не зная изображения сигналов?

[svv]

Вам надо мощным ударом разрушить предубеждение "если написан интеграл -- его надо брать".

Ваш вопрос аналогичен такому: "Вот в дифференциальном уравнении стоит производная от неизвестной функции. Чтобы взять эту производную, надо знать функцию, но она же неизвестна! Как же я найду производную?"

И в самом деле, вот, например, уравнение $y''(x)+y(x)=\sin x$. Чтобы найти $y''(x)$, надо знать $y(x)$. Тупиковая ситуация? Стоп! А кто сказал, что для решения этого уравнения придётся находить $y''(x)$? Придётся или нет?

[swagastr]

хорошо, разрушили)
Как же тогда решить его, для чего то же оно существует?)

[Евгений Машеров]

Сорри за наивный вопрос - но не путаете ли Вы "нельзя взять интеграл" и "бессмысленно использовать понятие передаточной функции в данной модели"?
"Нельзя взять интеграл" обычно понимается, как "нельзя его выразить в элементарных функциях", но если бы даже и было так - для построения передаточной функции можно было бы и численно. А вот есть ли смысл в передаточной функции вообще в данном случае? Она, вообще-то, вводится для линейных стационарных систем.
Если у нас имеется передаточная функция - мы знаем амплитудную и фазовую характеристики, как функции от частоты (и более ни от чего). От амплитуды они не зависят

(Оффтоп)

с меня фуражка прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность, не слетела?

но видно, что если амплитуды входа и выхода пропорционально изменить, то благодаря $L^2$ у нас АФЧХ изменятся.
То есть если это учебная задача, то первым делом надо доложить, что передаточная функция определена для linear time-invariant system, а у нас non-linear, что видно без интегрирования. Возможно, это вообще была "наколка", задача для проверки, понимает ли студент элементарное, или хорошо выдрессирован без понимания сути. А возможно, тут предполагается линеаризация (тогда нужны дополнительные сведения о диапазоне изменения $L$) или, как вариант, $L(t)$ и $L$, которое в $L^2$ это разные величины. В любом случае уточнение надо.

[swagastr]

То, что бессмысленно, это понятно из определения передаточной функции) Был вопрос в том, что можно ли вообще получить передаточную функцию для $L^2$?Насколько я сейчас понял - можно, но смысла она иметь не будет. $L(t)$ и $L^2$ одна и та же функция, т.е $L(t)^2$

[Евгений Машеров]

Вопрос общефилософский - а зачем делать то, что смысла иметь не будет?

-- 20 июн 2013, 13:42 --

Описание поведения системы через передаточную функцию, импульсную переходную функцию, АЧХ и ФЧХ имеет смысл, если система линейна. Если можно абстрагироваться от величины амплитуды, давая единичный пробный сигнал (дельта или ступеньку для переходной, синусоиду для ФАЧХ и т.п.) и получая сигнал на выходе, пропорциональный входу. Если сигнал на выходе зависит от входа нелинейно - надо явно указывать зависимость от амплитуды, появляются эффекты вроде умножения частоты и т.п. И надо рассматривать отклик, как решение дифуравнения общего вида, а не надеяться, что будет получено простое решение.