End(Z)

[spyphy]

Надо показать, что
$End(\mathbb{Z^+}) \simeq \mathbb{Z}$.
Если правильно понял, здесь $\mathbb{Z^+}$ - это аддитивная группа, $\mathbb{Z}$ - кольцо.
То, что отображение $\phi: ~ \End(\mathbb{Z^+}) \to \mathbb{Z}, ~ k \mapsto \phi_k$, где $\phi_k(n)=kn ~ (\forall n \in \mathbb{Z^+})$, - инъективный гомоморфизм, понятно. А вот сюръективность не очень очевидна, потому что не понятно как доказать, что каждый эндоморфизм имеет именно такой вид.

Аналогичная задача, что нужно делать, чтобы найти все эндоморфизмы группы, например, $S_3$ и $G = C_2 \times C_2$ ($C_n$ - циклическая группа), а также проверить, что $Aut(C_2 \times C_2) \simeq S_3$ ?

[Xaositect]

spyphy в сообщении #737758 писал(а):

А вот сюръективность не очень очевидна, потому что не понятно как доказать, что каждый эндоморфизм имеет именно такой вид.

Пусть $\varphi$ - эндомрфизм и $\varphi(1) = k$. Тогда $\varphi(n)=\dots$

Цитата:

Аналогичная задача, что нужно делать, чтобы найти все эндоморфизмы группы, например, $S_3$ и $G = C_2 \times C_2$ ($C_n$ - циклическая группа), а также проверить, что $Aut(C_2 \times C_2) \simeq S_3$ ?

Тут то же самое - надо выбрать какие-нибудь элементы, порождающие нашу группу и понять, куда они могут отображаться при эндоморфизме.