Как найти производную

[sopor]

Пусть есть функция, заданная уравнением $x=y+e^y$. Нужно найти $\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}$. Мои рассуждения: обратная функция задаётся уравнением $y=x+e^x$, eё производная $1+e^x$, тогда производная исходной будет $\frac{1}{1+e^x}$. Во-первых, верно ли это, и во-вторых, можно ли теперь найти вторую производную, просто взяв производную от $\frac{1}{1+e^x}$?

[Ms-dos4]

sopor в сообщении #737426 писал(а):

обратная функция задаётся уравнением $y=x+e^x$

Неверно

Прочитайте про производную неявно заданной функции.
В данном случае дифференцируем обе части по x

$\[1 = y' + {e^y}y'\]$

и имеем

$\[y' = \frac{1}{{1 + {e^y}}}\]$

В явном виде через x данная производная через элементарные функции не выражается (можно выразить через W-фукнцию)

$\[y' = \frac{1}{{1 + {\mathop{\rm W}\nolimits} ({e^x})}}\]$

[_Ivana]

Обратная функция видна при просмотре листочка с графиком исходной функции на просвет с другой стороны.... а у вас она такая же как и прямая. Было бы все так просто, не стоило бы и огород городить.

ЗЫ что ж я так медленно набираю то все время

[sopor]

Ms-dos4 в сообщении #737427 писал(а):

sopor в сообщении #737426 писал(а):

обратная функция задаётся уравнением $y=x+e^x$

Неверно

Прочитайте про производную неявно заданной функции.
В данном случае дифференцируем обе части по x

$\[1 = y' + {e^y}y'\]$

и имеем

$\[y' = \frac{1}{{1 + {e^y}}}\]$

В явном виде через x данная производная через элементарные функции не выражается (можно выразить через W-фукнцию)

$\[y' = \frac{1}{{1 + {\mathop{\rm W}\nolimits} ({e^x})}}\]$

Спасибо! То есть, производная неявной функции чаще всего тоже неявная функция?

[Ms-dos4]

sopor
Да. Просто иногда её можно выразить в явном виде, но вообще говоря для произвольной функции такое невозможно.
P.S.В данном случае эту же производную можно найти считая не $\[y(x)\]$ а $\[x(y)\]$
$\[\frac{{dx}}{{dy}} = 1 + {e^y}\]$
Отсюда можно найти то, что я писал сообщением выше. А иногда можно оставить и это выражение (если вам не требуется именно зависимость $\[y(x)\]$)