Объясните пример по мат. анализу

[wasd]

$z=\cos(y^3/x^2)$
$dz/dx=((-\sin(y^3/x^2)*y^3*(0-2x)/x^4)$
$dz/dy=((-\sin(y^3/x^2)*1/x^2*3y^2)$
Объясните, почему дифференцирование (y^3/x^2) по x и по y происходит таким образом? По правилу дифференцирования (u/v)' = (u'v+uv')/v^2. Почему в дифференцировании по x сначала выносится u, а потом приравнивается к нулю компонент u'v? А в дифференцировании по y выносится v, а затем приравниваются к нулю uv' и v^2? Объясните, пожалуйста.

[Otta]

wasd в сообщении #737280 писал(а):

Объясните, почему дифференцирование (y^3/x^2) по x и по y происходит таким образом? По правилу дифференцирования (u/v)' = (u'v+uv')/v^2. Почему в дифференцировании по x сначала выносится u, а потом приравнивается к нулю компонент u'v? А в дифференцировании по y выносится v, а затем приравниваются к нулю uv' и v^2? Объясните, пожалуйста.

Ни почему. Это ровным счетом Ваша интерпретация происходящего.

Что такое производная по $x$? Не важно, чего. Как ее считают? Как Вы понимаете?

[dikiy]

при взятии производной по переменной, все кроме этой переменной считается константой, если заранее не оговорено зависимости. Например в данном случае $y$ от икса не зависит. поэтому можно считать $y$ константой.

[svv]

(wasd)

Для первого сообщения у Вас неплохо получается писать в $\TeX$. Смотрите, как можно ещё лучше:

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\sin\left(\frac{y^3}{x^2}\right)\;\frac{y^3(-2x)}{x^4}$$

Код увидите, подведя курсор мышки к формуле.

[Otta]

svv в сообщении #737317 писал(а):

(wasd)

Для первого сообщения у Вас неплохо получается писать в $\TeX$. Смотрите, как можно ещё лучше:

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\sin\left(\frac{y^3}{x^2}\right)\;\frac{y^3(-2x)}{x^4}$$

Код увидите, подведя курсор мышки к формуле.

А еще лучше будет, если не пытаться дифференцировать $\frac{y^3}{x^2}$ как частное. Ибо, как нам объяснили, $y^3$ - константа, и значит, ее можно вынести за знак производной по $x$, а $x^{-2}$ и так неплохо дифференцируется, незачем из нее дробь стряпать, а потом героически преодолевать собственноручно созданные трудности.

[Someone]

wasd в сообщении #737280 писал(а):

По правилу дифференцирования (u/v)' = (u'v+uv')/v^2.

Неправильная формула.

$$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$