Простая задачка по топологии

[Aphelion]

Дорого времени суток!
У меня возникли затруднения с задачкой. Ввиду того, что этот предмет у нас плохо читается, то пришлось разбираться самой.
Итак, задачка: Показать, что аддитивная группа целых чисел с дискретной топологией является топологической группой.
Так как на форуме очень строго следится за просьбами типа "Напишите пожалуйста решение", то я попрошу лишь навести меня на мысль.. Что такое аадитивная группа, дискретная топология и топологическая группа я знаю, просто не знаю как подступится и как оформить решение.

Заранее спасибо!

[Brukvalub]

Aphelion писал(а):

Показать, что аддитивная группа целых чисел с дискретной топологией является топологической группой.

А просто соедините свои знания вместе и проверьте определение топологической группы (то есть проверьте выполнение всех аксиом)

[Someone]

Там ведь нужно проверить только непрерывность групповых операций.

[neo66]

Любая группа G становится топологической группой, если снабдить G дискретной топологией.

[Aphelion]

Я понимаю, что проверить нужно только непрерывность двух операций, но я не могу понять как это можно записать..
Либо на конкретном примере, либо как-то в общем виде?
neo66, ваше высказывание тоже нужно доказать, это ведь не теорема (насколько мне известно)..

[Someone]

Определение непрерывного отображения знаете? Вот прямо по определению и проверяйте.

[Aphelion]

Что проверять и как я знала с самого начала, я спрашивала как проверить: на конкретном примере или в как-то в общем виде?

[Capella]

Aphelion

Так у Вас уже и так конкретно написано: аддитивная группа целых чисел - вот на них и проверьте.

[Dan_Te]

Че-то много всего сказано, но как-то все неконкретно... Конечно, утверждение тривиально, но тем не менее.

Aphelion: надо, конечно, в общем виде проверять. Но если мы начнем с примеров, то от нас не убудет.
Проверим, что операция $+\colon \mathbb Z^2 \to \mathbb Z$ непрерывна в точке $(0,0)$. Здесь у нас $\mathbb Z^2$ - это тихоновское произведение двух $\mathbb Z$, поэтому оно тоже обладает дискретной топологией.
Будем работать по определению. Рассмотрим произвольную окрестность $U$ точки $0\in\mathbb Z$ и попробуем так подобрать для нее окрестность $V$ точки $(0,0)\in\mathbb Z^2$, чтобы выполнялось $V+V\subset U$.

Понятно, что надо взять в качестве $V$?

[Aphelion]

Мммм.. Что-то не очень. Ну попытаюсь разобратться.. Спасибо, Dan_Te, за наводку..