Многочлены с целыми коэффициентами

[xmaister]

Пусть идеал $\mathfrak{a}$ кольца $\mathbb{Z}[x]$ содержит многочлен со свободным членом 1 и $\deg\gcd(f,g)= 0$ для всех $f,g\in\mathfrak{a}$. Докажите, что $1+x+\ldots +x^{n}\in\mathfrak{a}$ для некоторого $n\in\mathbb{N}$.

UPD: подправил.

[lena7]

xmaister в сообщении #735950 писал(а):

$\deg\gcd(f,g)\le 0$ для всех $f,g\in\mathbb{Z}[x]$.

[lena7]

Если $f\in \mathfrak a$, то $xf\in \mathfrak a$ и $x^2f\in \mathfrak a$, но $\deg\gcd(xf, x^2f)>0$.