p удовлетворяет аксиомам метрики.

[images]

Пусть задано множество всех пар действительных чисел $(a,b)$ Для любых двух его элементов $x(a_1,b_1), y(a_2,b_2)$ положим
$p(x,y) = |a_2-a_1|+|b_2-b_1|$
Доказать, что $p$ удовлетворяет аксиомам метрики.



1)2) Плохое слово очевидно
3)

\[\begin{gathered} \rho (x,y) = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| + \left| {{y_1} - {y_2}} \right| \hfill \\ \rho (x,z) \leqslant \rho (x,y) + \rho (y,z) \hfill \\ \left| {{x_1} - {x_2}} \right| + \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \leqslant \left| {{x_1} - {x_2}} \right| + \left| {{y_1} - {y_2}} \right| + \left| {{y_1} - {y_2}} \right| + \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \hfill \\ 0 \leqslant 2\left| {{y_1} - {y_2}} \right| \hfill \\ \end{gathered} \]

[provincialka]

В чем вопрос? Это известная метрика, ее иногда называют Манхэттенской или метрикой городских кварталов.

-- 12.06.2013, 12:36 --

Доказательство неверное.

[ewert]

images в сообщении #735725 писал(а):

$\begin{gathered} \rho (x,z) \leqslant \rho (x,y) + \rho (y,z) \hfill \\ \left| {{x_1} - {x_2}} \right| + \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \leqslant \left| {{x_1} - {x_2}} \right| + \left| {{y_1} - {y_2}} \right| + \left| {{y_1} - {y_2}} \right| + \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \hfill \\ \end{gathered} $

Левая часть первой строчки не соответствует левой части второй (как и правые, разумеется).

[images]

provincialka
А вы можете это исправить?

[Otta]

Вы координаты у каждой точки распишите: $x(...,...)$ и т.д., сами увидите, где неправы.

[images]

Otta


$ p(x,z)= |a_3 - a_1|+|b_3-b_1|=|a_3-a_2+a_2-a_1|+|b_3-b_2+b_2-b_1|\leq |a_3-a_2|+|a_2-a_1|+|b_3 - b_1|+|b_2 -b_1|=P(y,z)+p(x,y)$
Так имели ввиду?

[Otta]

Да. Плюс пропустили.

[images]

Otta
Спасибо Большое за помощь, Удачи.

[Deggial]

images, замечание за неполное оформление формул $\TeX$ом.
Формулы поправил.