Интегральное преобразование Фурье

[Xant0]

Добрый день! Помогите пожалуйста разобраться с одним моментом из текста. С помощью интегрального преобразования Фурье решается такая задача:

$$u_t - a^2u_{xx} = f(x,t)$$

$$u(x,0)=0$$

$$x \in (-\infty,\infty), \, t>0$$

Интегральное преобразование Фурье для $u(x,t)$ и $f(x,t)$ задаётся следующим образом:

$$U(\xi,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi x}u(x,t) dx$$

$$F(\xi,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi x}f(x,t) dx$$

Обратное преобразование:

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{i\xi x}U(\xi,\tau) d\xi$$

$$f(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{i\xi x}F(\xi,\tau) d\xi$$

После применения прямого преобразования получается общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения

$$U(\xi,t) = \int_0^t F(\xi,\tau) \cdot e^{-a^2\xi^2(t-\tau)} d\tau.$$

После этого применяется обратное преобразование

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i\xi x}U(\xi,t) d\xi = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i \xi x} \int\limits_{0}^{t}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi s}f(s,\tau) ds}\limits_{= F(\xi,\tau)} \cdot e^{-a^2\xi^2(t-\tau)}d\tau d\xi = ...$$

Вопрос - почему мы используем здесь переменную $s$, а не $x$? Разве это будет не та же исходная функция $f(x,t)$?

Заранее спасибо.

[Otta]

Xant0 в сообщении #735659 писал(а):

Разве это будет не та же исходная функция ?

Где? в фигурной скобочке? почему она будет, если это ее преобразование Фурье (с точностью до множителя)?

[Xant0]

Цитата:

Где? в фигурной скобочке? почему она будет, если это ее преобразование Фурье (с точностью до множителя)?

Да, почему в этом выражении, где фигурная скобка, ввели переменную $s$, а не использовали $x$? Ведь $F(\xi,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi x}f(x,t) dx$.

[Otta]

Скажите, от каких переменных зависит Ваш интеграл? Не подынтегральная функция, а сам интеграл? Вот этот, последний.

[Xant0]

Otta в сообщении #735682 писал(а):

Скажите, от каких переменных зависит Ваш интеграл? Не подынтегральная функция, а сам интеграл? Вот этот, последний.

От $s$.

[Otta]

Любопытно. А этот: $\int_0^1 s^2\,ds$?

[Xant0]

Otta в сообщении #735748 писал(а):

Любопытно. А этот: $\int_0^1 s^2\,ds$?

Если интеграл определённый, то его величина не зависит от того, какую мы переменную будем использовать, разве не так?

Просто смущает то, что мы где-то оставили $x$, а где-то используем вместо него $s$. И если $x$ оставить, получится в выводе дальше уже совсем не то.

[Otta]

Xant0 в сообщении #735775 писал(а):

Просто смущает то, что мы где-то оставили , а где-то используем вместо него . И если оставить, получится в выводе дальше уже совсем не то.

В выводе получается как раз то.

То есть такой же интеграл, но с $x$: $\int_0^1x^2\,dx$ ничем не отличается? Да, и от чего зависит этот, а от чего предыдущий. Значение от чего зависит.

[Xant0]

Otta в сообщении #735781 писал(а):

Xant0 в сообщении #735775 писал(а):

Просто смущает то, что мы где-то оставили , а где-то используем вместо него . И если оставить, получится в выводе дальше уже совсем не то.

В выводе получается как раз то.

То есть такой же интеграл, но с $x$: $\int_0^1x^2\,dx$ ничем не отличается?

И там будет 1/3 в ответе, и там, хоть с $s$, хоть с $x$.

В итоге там получится выражение, содержащее, например, скобку (x-s) - если вместо s оставить x, то эта скобка будет нулю равна.

У нас формула для $U(\xi,\tau)$ дана, мы её подставляем сюда, в этой формуле $x$ используется, но мы его заменили на $s$. Если бы мы везде заменили $x$ на $s$, то это было бы понятно, но ведь зачем-то оставили в одной части $x$, а в другой записали $s$.

[Otta]

Вы отвечаете, и сами не сопоставляете свои ответы с Вашей ситуацией. Ну, поставьте туда вправо $x$. Пусть. Как Вам хочется. От чего будет зависеть интеграл, который Вы выделили фигурной скобкой?

[Xant0]

Получится

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i \xi x} \int\limits_{0}^{t}\underbrace{\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi x}f(x,\tau) dx}\limits_{= F(\xi,\tau)} \cdot e^{-a^2\xi^2(t-\tau)}d\tau d\xi$$

Тут хоть $x$, хоть $s$, получится одно и то же.

Там дальше такое продолжение:

$$... = \frac{1}{2\pi}\int_0^t d\tau \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s,\tau) ds \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i\xi(x-s)} e^{-a^2\xi^2(t-\tau)}d\xi = ...$$

Получается, что мы совместили две экспоненты (с $x$ и с $s$). Но если вместо $s$ записать $x$, то получится $(x-x)=0$.

[Otta]

Xant0 в сообщении #735790 писал(а):

Там дальше такое продолжение:

Так, стоп. То есть я имею право написать любую буковку? Не обязательно $x$?

[Xant0]

Otta в сообщении #735792 писал(а):

Xant0 в сообщении #735790 писал(а):

Там дальше такое продолжение:

Так, стоп. То есть я имею право написать любую буковку? Не обязательно $x$?

В этом интеграле вместо $x$ можно любую написать. Кроме $\tau$ и $\xi$, это ведь разные переменные.

[Otta]

Xant0 в сообщении #735795 писал(а):

В этом интеграле вместо $x$ можно любую написать.

И кроме $x$ и $t$.

Раз можно написать, значит, надо написать. Потому что интегрирование идет по очередной переменной, с
$x$ никак не связанной. $x$ (как и $t$) - вообще параметр, от которого должен зависеть весь большой интеграл. Так что интегрирования по нему надо избегать, как черт ладана.

[Xant0]

Otta в сообщении #735796 писал(а):

Xant0 в сообщении #735795 писал(а):

В этом интеграле вместо $x$ можно любую написать.

И кроме $x$ и $t$.

Раз можно написать, значит, надо написать. Потому что интегрирование идет по очередной переменной, с
$x$ никак не связанной. $x$ (как и $t$) - вообще параметр, от которого должен зависеть весь большой интеграл. Так что интегрирования по нему надо избегать, как черт ладана.

Но в формуле для прямого преобразования как раз ведь интеграл по $x$.