Последовательность из отрицательных чисел

[Alexander Evnin]

Пусть последовательность $(a_n)$ задаётся соотношениями

$$a_0=c;\quad a_n=2a_{n-1}^2-1, n\in\mathbb N.$$

При каких $c$ все члены последовательности отрицательны?

Эту задачу можно решить разными способами...

[Ms-dos4]

Общее решение уравнения $\[{a_n} = 2a_{n - 1}^2 - 1\]$ очевидно $\[{a_n} = \cos [{2^n} \cdot C]\]$. В данном случае константа $\[C = \pm \arccos c + 2\pi k\]$. Что бы косинус был отрицательным, его аргумент должен лежать в пределах $\[(\frac{{(1 + 2k)\pi }}{2};\frac{{(3 + 2k)\pi }}{2})\]$ - это и даёт все решения
Например этому удовлетворяет $\[\arccos c = \pm \frac{{2k\pi }}{3}\]$, где $\[k \in {\rm{Z}}\]$, откуда $\[c = - \frac{1}{2}\]$

[Legioner93]

Кроме $c=-\frac{1}{2}$ вроде больше и нет ничего. Решал не очень строго: пусть ответом является некий промежуток $a \leqslant c \leqslant b$ (неравенства не обязательно нестрогие, любая из 4 комбинаций).
Тогда получаем систему $2b^2-1\geqslant a \bigwedge 2a^2-1 \leqslant b \bigwedge a<0 \bigwedge b<0 \bigwedge a \leqslant b $
Решением является одна точка $(a,b)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ (легко получить графически, ну или в вольфрам забить).

[ewert]

Legioner93 в сообщении #735293 писал(а):

Кроме $c=-\frac{1}{2}$ вроде больше и нет ничего.

Естественно, нет. Двойные итерации $a_{n+2} =8a_n^4-8a_n^2+1$, очевидно, выйдут рано или поздно в плюс, если только хоть одна из них окажется в интервале $(-\frac12;0)$. А если хоть одна итерация нечаянно окажется вдруг левее $-\frac12$ -- уже следующая (обычная, не двойная) немедленно окажется правее.