Ангем: При каких значениях фактор-алгебра = поле?

[miraina]

Дана фактор-алгебра: $L = \mathbb{Z} [p] / (x^2+1)$

При каких $p$ $L$ является полем?

Идеи решения:
1) $L$ - поле т. и т. т., когда $(x^2+1)$ не разложим в $\mathbb{Z} [p]$
2) И вот тут тупик. Чтобы понять, когда разложим, а когда нет - используем критерий Эйзенштейна, а вот найти значения - мозг не доходит. Может нужно разложить наш многочлен на 2 неприводимых степени 1, а посмотреть при каких x многочлен в ноль обращается?

Спасибо заранее за ответ и потерянное вами время.

[Xaositect]

Вы имели в виду $\mathbb{Z}_p[x]/(x^2 + 1)$?

Для квадратных трехчленов все просто - он разложим тогда и только тогда, когда у него есть корень. Надо будет вспомнить или почитать основы про квадратичные вычеты по модулю $p$.