Обнаружил парадокс в теории дифференциальных уравнений

[myjobisgop]

Собственно суть вот в чем:
Рассмотрим непродолжаемые решения уравнения: $y'' + (3 + \sin t)y = (t + 4)^{-3}$

Они, по теореме существования и единственности определены на интервалах $(-\infty , -4)$ и $(-4, +\infty)$.
Рассмотрим для определенности интервал $I_2 = (-4, +\infty)$

Задача: Верно ли, что графики некоторых двух решений, определенных на I_2 пересекаются менее чем в 6 точках?

Решение 1)
Если $y_1$ и $y_2$ решения исходного уравнения, то $y_3 = y_1 - y_2$ - решение соответствующего однородного уравнения: $y'' + (3 + \sin t)y = 0$

Причем $y_3(t_k) = 0\ \ (k < 6)$.

Коэффицент $a_1(t) = 3 + \sin t \in C^{1}(\mathbb{R})$. А также $a_1(t) \leqslant 4; \forall t \in I_2$.

Тогда по теореме Штурма всякое решение соответствующего однородного уравнения и всякое решение уравнения $y'' + 4y = 0$ имеют перемежающиеся или совпадающие нули.

Но это, очевидно не так, ведь например решение $y = \sin 2t$ имеет бесконечно много нулей, а решение $y_3$ всего шесть.
Отсюда решение - не может.

Решение 2)
Имеем по условию:
$y_1(t_k) = y_2(t_k)$
и
$$(y_1)'(t_k) \neq (y_2)'(t_k)$ из-за пересечения. $(k < 6)$.

Поэтому решения $y_1$ и $y_2$ удовлетворяют разным задачам Коши в условиях выполнения теоремы существования и единственности, поэтому могу пересекаться.


Отсюда вывод: Либо не верна теорема существования и единственности, либо теорема Штурма.

Действительно ли так?

[Munin]

Либо вы $y_3$ нашли и описали с ошибкой.

[myjobisgop]

Munin,
Я показал, что $y_3$ не может быть решением однородного уравнения: $y'' + (3 + \sin t)y = 0$.
Поэтому $y_1$ и $y_2$ не могут быть решениями исходного уравнения.
В чем ошибка-то?

[ewert]

myjobisgop в сообщении #734608 писал(а):

по теореме Штурма всякое решение соответствующего однородного уравнения и всякое решение уравнения $y'' + 4y = 0$ имеют перемежающиеся или совпадающие нули.

Вы не в ту сторону оценили (хотя это и не важно).

myjobisgop в сообщении #734608 писал(а):

решения $y_1$ и $y_2$ удовлетворяют разным задачам Коши в условиях выполнения теоремы существования и единственности, поэтому могу пересекаться.

Во-первых: да, могут; ну и что? Во-вторых: теорема существования и единственности не имеет никакого отношения ни к возможности пересечения, ни к невозможности.

[myjobisgop]

ewert в сообщении #734635 писал(а):

Во-первых: да, могут; ну и что?

Ну если могут, тогда почему не пересекаются?

[Nemiroff]

myjobisgop в сообщении #734650 писал(а):

Ну если могут, тогда почему не пересекаются?

Два решения могут пересекаться. Из этого никак не следует, что существуют два, которые пересекаются менее, чем в шести точках.

[Munin]

myjobisgop в сообщении #734629 писал(а):

В чем ошибка-то?

Извините, это я ошибся. Больше не мешаю.