Тао о разных математиках.

[g______d]

Я уточню немного. Периодические не краевые условия, а потенциал; сама задача рассматривается на всей оси. Спектр всегда непрерывный. У почти всех потенциалов он разбивается на бесконечное число связных компонент (т. е. в нем бесконечно много лакун); однако же, действительно, есть класс потенциалов, для которых число лакун конечно. Они называются конечнозонными и, как Вы и сказали, выражаются через $\theta$-функции.

[пианист]

g______d
Да, конечно, сори, не спектр, а концы разрешенных зон ;)

[maximav]

Munin в сообщении #735254 писал(а):

Мне показалось, что предыдущий текст Tao ценен, по крайней мере, тем, что помогает понять, о чём его вывод, и вводит те понятия, которые в выводе используются. Извините за большую цитату:

Цитата:

[...]

В частности, первый пример (с уравнением КдФ) мне показался смутно понятным, и если бы кто-нибудь взялся объяснить его ещё более простым языком, я был бы признателен.

Ну там он, судя по тексту, ничего более глубинного не имел в виду, кроме как точная решаемость. Но структурированной математикой он наверняка подразумевал то, что решаемость через эллиптические интегралы не просто решаемость. Эллиптические обладают громадным числом алгебраических, функциональных, арифметических и др. структур. То, что выходит за рамки чисто дифференциального решения КдВ. Эта решаемость, таким образом, очень сильно отличается от того, как если бы вы проинтегрировали что-нибудь не в эллиптических интегралах, а, скажем, через какой-нибудь интегральный логарифм.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #736447 писал(а):

У почти всех потенциалов он разбивается на бесконечное число связных компонент (т. е. в нем бесконечно много лакун)

Это факт чисто одномерный. В размерности $\ge 2$ лакун всегда конечное число число и возникает противоположный вопрос: о кратностях (непрерывного) спектра.

http://www.mathnet.ru/links/13d1226578d4d4bc63a6551f156deb34/tm2190.pdf

Разумеется, многомерный оператор Шрёдингера с КдВ не связан. Да, кстати, наряду с солитонами (решениями типа бегущей волны, убывающими на бесконечности) есть и кинки (периодические решения типа бегущей волны); но вот распадаются ли на них периодическое по $x$ решения ур-ния КдВ — не знаю. Надо спрашивать у специалистов.

[maximav]

Кинки не периодические - это теже солитоны, только для другого нелинейного ур-я, не для кдв. Но на языке линейного - ассоциированного ур-я - это все одно и тоже. Точно решаемые потенциалы 1-мерного ур-я Шредингера. Есть теоремы, что периодические всюду плотны в пр-ве периодических отенциалов с непрерывными спектрами. Т.е. на них, на периодические в бесконечном кол-ве, все разваливается.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1011646 писал(а):

Это факт чисто одномерный.

Да, разумеется. У меня в посте есть слова "вещественная ось".

Red_Herring в сообщении #1011646 писал(а):

В размерности $\ge 2$ лакун всегда конечное число число и возникает противоположный вопрос: о кратностях (непрерывного) спектра.

Я бы скорее сюдасослался. Хотя, видимо, Вы это и имели в виду, когда говорили "всегда".

Red_Herring в сообщении #1011646 писал(а):

Да, кстати, наряду с солитонами (решениями типа бегущей волны, убывающими на бесконечности) есть и кинки (периодические решения типа бегущей волны); но вот распадаются ли на них периодическое по $x$ решения ур-ния КдВ — не знаю. Надо спрашивать у специалистов.

Для КдФ на $\mathbb R$ можно с помощью метода обратной задачи доказать глобальное существование решения для любых начальных данных из класса Шварца.

Для КдФ на одномерном торе это точно работает, если начальные данные являются конечнозонным потенциалом (и тогда есть даже какие-то более-менее точные формулы для решения).

Если мы на торе, и начальные данные -- гладкая периодическая функция (бесконечнозонная), то я точно не знаю, можно ли провести этот метод в таком случае. Будет некомпактная риманова поверхность и т. п. Это должно быть какой-то классикой, но я с ходу не смог найти и дальше лень уже смотреть. Я не специалист :)

Еще, насколько я понимаю, метод обратной задачи как способ доказать глобальную разрешимость -- не самый мощный. Вот, например, помощнее.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1011896 писал(а):

Я бы скорее сюда
сослался. Хотя, видимо, Вы это и имели в виду, когда говорили "всегда".

По-моему это Максим Скриганов выяснил когда Парновский еще в яслях был

maximav в сообщении #1011690 писал(а):

Кинки не периодические - это теже солитоны, только для другого нелинейного ур-я, не для кдв.

Мне казалось что так называются периодические решения типа бегущей волны у КдВ. Но в любом случае они есть.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1011908 писал(а):

По-моему это Максим Скриганов выяснил когда Парновский еще в яслях был

Только для рациональных решеток.

-- Ср, 06 май 2015 14:57:32 --

Red_Herring в сообщении #1011908 писал(а):

Мне казалось что так называются периодические решения типа бегущей волны у КдВ.

Видимо, они называются все-таки кноидальными волнами.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1011908 писал(а):

Мне казалось что так называются периодические решения типа бегущей волны у КдВ.

Кинк - это топологический солитон (как "ступенька" из 0 на $-\infty$ в 1 на $+\infty$) в $\sin$-Гордоне.