Сумма обратных величин к нулям функции

[Excoder]

Не могли бы вы подсказать, какие существуют связи между нулями аналитической на некотором промежутке функции и разложением этой функции в различные ряды (Тейлора, Лорана), и где можно об этом почитать. Однажды, вроде бы на mathworld.wolfram.com, находил статью о том, что сумма обратных величин нулей действительной аналитической функции равна некоторому коэффициенту в разложении этой функции в ряд Тейлора, но к сожалению не смог повторно найти этот материал. Был бы признателен, если кто-либо нашел эту статью

Еще вопрос. Есть ли общий способ, с помощью которого можно получать асимптотические оценки нулей сложной аналитической функции? Допустим, имеется семейство функций f(n,x), n - целочисленный параметр. При этом f'(n,x)=0 оказывается трансцедентным уравнением, и необходимо получить асимптотические оценки корней этого уравнения для произвольного n. Есть ли способ использования ряда Бюрмана-Лагранжа для оценки нулей аналитической функции, и есть ли примеры с использованием этого ряда для оценки нулей? Буду очень признателен за комментарии и ссылки.

Заранее спасибо

[Brukvalub]

Excoder писал(а):

Однажды, вроде бы на mathworld.wolfram.com, находил статью о том, что сумма обратных величин нулей действительной аналитической функции равна некоторому коэффициенту в разложении этой функции в ряд Тейлора

Как-то сомнительно все это. Во-первых, ряд из обратных величин нулей вообще не обязан сходиться (см. ф-лу Вейерштрасса о разложении целой функции в бесконечное произведение). Далее, понятно, что, если число 0 является нулём функции, то оно не должно входить в сумму обратных к нулям величин. С другой стороны, после умножения исходной функции на х в натуральной степени, все коэффициенты ее разложения в ряд Тейлора меняют свои номера, а ненулевые нули не меняются. И как быть с экспонентой, вообще не имеющей нулей?

[Excoder]

Вот это утверждение: http://mathworld.wolfram.com/RootLinearCoefficientTheorem.html. Понятно (из не очень формальных соображений) что это следствие из теоремы Виета... Если рассматривать функцию как произведение некоторой величины на бесконечное произведение линейных одночленов вида

$$x - x_j$$

, где

$$x_j$$

- это корни.

В связи с этим возникает один метод вычисления

$$\zeta \left( 2 \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{1 \over {n^2 }}}$$

. Разложим синус в нуле и составим уравнение:

$$\sin x = x - {\textstyle{{x^3 } \over {3!}}} + {\textstyle{{x^5 } \over {5!}}} - \ldots = 0$$

. Сократим на

$$x$$

(отбросив корень

$$x=0$$

), получим:

$$1 - {\textstyle{{x^2 } \over {3!}}} + {\textstyle{{x^4 } \over {5!}}} - \ldots = 0$$

. Сделаем замену:

$$z = x^2$$

. С другой стороны, корнями уравнения

$$\sin x = 0$$

(за исключением

$$x=0$$

) являются числа

$$x_k = \pi k,k = 1,2, \ldots$$

. Тогда

$$z = \pi ^2 ,\left( {2\pi } \right)^2 , \ldots$$

- корни последнего уравнения. В тейлоровском разложении левой части уравнения линейный член

$$a_1 = - {\textstyle{1 \over 6}}$$

, тогда, по теореме "Root Linear Coefficient Theorem", имеем:

$${\textstyle{1 \over {\pi ^2 }}} + {\textstyle{1 \over {\left( {2\pi } \right)^2 }}} + \ldots = - a_1 = & {\textstyle{1 \over 6}}$$

. Отсюда сразу же следует значение

$$\zeta \left( 2 \right)$$

[Brukvalub]

Цитирую: The sum of the reciprocals of roots of an equation equals the negative coefficient of the linear term in the Maclaurin series. По отдельнсти все слова мне понятны, а в целом фраза вызывает лишь одну реакцию: Жесть Особенно радуют активные ссылки, сразу чувствуется уровень! А что такое "отрицательный коэффициент линейного члена ряда Макларена", мне понять не удастся уже никогда, по крайней мере, почему он обязательно отрицательный

[ИСН]

Не, нормальная фраза. Ну то есть как. Кривая местами. "Сумма величин, обратных к корням уравнения (понимать так - к корням функции), равна коэффициенту при линейном члене в ряде Маклорена, тока с минусом." Ну, забыли сказать, что ещё надо, наверное, поделить на нулевой коэффициент (в приведённом примере он равен 1).

[Excoder]

Согласен с уважаемым ИСН, если следовать теореме Виета (http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html), то товарищ Вольфрам действительно ошибся

[RIP]

Ага. А ещё эту теорему можно использовать, чтобы доказать, что $1=0$. Рассмотрим уравнение $(1-z)e^z=1-\frac{z^2}2+...=0$, имеющее один простой корень $1$. Применяя "Root Linear Coefficient Theorem", получаем, что $1=0$. Действительно, великая теорема!

[ИСН]

Вот-вот. Что по-настоящему важное забыли (и это довольно странно для Вольфрама), так это дописать какое-то условие на функцию, при котором теорема к ней имеет отношение, потому что очевидно, что вообще такие функции есть: синус, как показано выше, годится, и все многочлены - тоже.

[Excoder]

Ну почему же так категорично, товарищ RIP Теорема явно имеет интересные применения, просто ее нужно попытаться нормально сформулировать... Например, если мы знаем, что функция имеет на каком-то отрезке единственный ненулевой корень, то почему бы не представить такие рассуждения. Мы раскладываем функцию в ряд Тейлора таким образом, что отрезок, содержащий корень, целиком содержится в круге сходимости этого ряда (понятно, что так можно сделать не всегда). Пусть круг сходимости имеет центр в точке

$$a \in R$$

. В полученном разложении мы раскрываем скобки для выражений

$$\left( {x - a} \right)^n$$

по биному Ньютона и получаем некоторый ряд по степеням

$$x$$

. Берем в этом новообразованном ряде коэффициент при линейном члене - и получаем аналитическое выражение для обратной величины искомого корня Правда, я не знаю пока, есть ли принципиальная ошибка в этом рассуждении, и стоит ли потратить время на проделывание такой операции для какой-либо функции (не разлагаемой в ряд Тейлора в окрестности нуля, но разлагаемой в какой-либо другой точке). Надеюсь на общую конструктивную критику... Может тему в дискуссионные перенести?

Да, про Лагранжа-Бюрмана, пожалуйста, замолвите слово Очень хочется посмотреть насчет этого объекта какую-либо литературу. В большинстве книжек по анализу и ТФКП пишут, что да, есть такая штуковина, но вот о ее практических применениях не пишут...

[Excoder]

Погоды это конечно не сделает, но позволит читателям темы лучше понять суть
Итак, есть полином:

$$ a_n z^n + a_{n - 1} z^{n - 1} + a_1 z + a_0 $$

.
Корнями его пусть будут числа

$$\left\{ {\lambda _k } \right\}_{k = 1}^n$$

, не обязательно различные.
Теорема Виета дает такие соотношения:

$$ s_{n - 1} = \sum\limits_{i = 1}^n {\prod\limits_{\scriptstyle k = 1 \hfill \atop \scriptstyle k \ne i \hfill} ^n {\lambda _k } } \mathop = \limits^{{\rm{th}}} \left( { - 1} \right)^{n - 1} {{a_1 } \over {a_n }} $$

,

$$ s_n = \prod\limits_{k = 1}^n {\lambda _k } \mathop = \limits^{{\rm{th}}} \left( { - 1} \right)^n {{a_0 } \over {a_n }} $$

.
С другой стороны:

$$ S\mathop = \limits^{{\rm{def}}} \sum\limits_{k = 1}^n {{1 \over {\lambda _k }}} = {{\sum\limits_{i = 1}^n {\prod\limits_{\scriptstyle k = 1 \hfill \atop \scriptstyle k \ne i \hfill} ^n {\lambda _k } } } \over {\prod\limits_{k = 1}^n {\lambda _k } }} = {{s_{n - 1} } \over {s_n }} = {{\left( { - 1} \right)^{n - 1} {{a_1 } \over {a_n }}} \over {\left( { - 1} \right)^n {{a_0 } \over {a_n }}}} = - {{a_1 } \over {a_0 }} $$

.
При этом, видимо - не умаляя общности,

$$z \in C$$

.
Теперь, если число корней счетно, то ничто не мешает совершить в выражении для

$$S$$

предельный переход, переходя от конечного полинома к степенному ряду. В результате получаем "Root Linear Coefficient Theorem" в несколько подкорректированном виде.
Однако это не снимает вопроса: почему нельзя применить теорему к функции

$${\mathop{\rm e}\nolimits} ^z$$

? Понятно, что комплексных и действительных корней она не имеет, и теорема в таком случае дает заведомо неверный результат. Хотя, если перейти на расширенную плоскость, то корень-то все же будет:

$$z = - \infty$$

Пока не вижу выхода из затруднения... Единственное, что сразу бросается в глаза: любое n-ое приближение показательной функции полином (отрезком степенного ряда) имеет всегда n комплексных корней, а предел последовательности полиномов корней не имеет вообще - что и блокирует применение теоремы... Но это очень неформальное рассуждение...

[Brukvalub]

Excoder писал(а):

Теперь, если число корней счетно, то ничто не мешает совершить в выражении для

$$S$$

предельный переход, переходя от конечного полинома к степенному ряду.

(выделение в цитировании-моё) Конечно, такие мелочи, как вполне возможная расходимость ряда в выражении для S (о чем я уже писал выше в этой теме) никак не могут повлиять на предельный переход Как говорят в Одессе, если нельзя, но очень хочется, то - можно!

[RIP]

Excoder писал(а):

Хотя, если перейти на расширенную плоскость, то корень-то все же будет:

$$z = - \infty$$

На расширенной плоскости нет точки $-\infty$, есть только $\infty$. Без $\pm$, просто $\infty$.


Возможно. Вам стоит почитать всё-таки про произведение Вейерштрасса для целых функций, которое делает теорему (с поправкой) очевидной для полиномов, а также объясняет, почему с рядом $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$ всё "сошлось".

[Excoder]

Ну да, забыл уже ТФКП... На сфере Римана устремимся к бесконечности сначала по левой действительной полуоси, затем по правой - получим разные результаты. Т.о., предела не существует. Нет у показательной функции корней на комплексной плоскости.

А насчет Вейерштрасса - можно ли сцылочку? Или это вы про то самое, как для синуса? Я просто подумал, что имелось ввиду какое-то его математическое сочинение, хе-хе Похожая техника с разложением функций в бесконечное произведение использовалось, вроде бы, для связи нулей дзета-функции и распределения простых чисел. Это называлось произведением Адамара.

[Someone]

Excoder писал(а):

Однако это не снимает вопроса: почему нельзя применить теорему к функции

$${\mathop{\rm e}\nolimits} ^z$$

? Понятно, что комплексных и действительных корней она не имеет, и теорема в таком случае дает заведомо неверный результат. Хотя, если перейти на расширенную плоскость, то корень-то все же будет:

$$z = - \infty$$

На расширенной комплексной плоскости нет точки $-\infty$, есть только $\infty$ без каких-либо признаков знака "плюс" или "минус". Эта точка является существенно особой для функции $e^z$. Согласно теореме Пикара, в любой окрестности точки $\infty$ функция $e^z$ принимает бесконечное число раз любое (комплексное) значение, кроме, может быть, одного. Этим исключительным значением является как раз $0$.

P.S. Пока писал, этот вопрос уже обсудили.

Excoder писал(а):

А насчет Вейерштрасса - можно ли сцылочку?

М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. Москва, "Наука", 1987.

Глава V, § 1, пункт 72.

[Brukvalub]

Про произведение Вейерштрасса можно прочесть в любом приличном учебнике по ТФКП, например, вот в этом: Привалов И.И. — Введение в теорию функций комплексного переменного