Условия неотрицательности многочлена

[alisa-lebovski]

Как выписать в достаточно простом виде условия неотрицательности многочлена 4-ой степени на отрезке $[a,b]$. Пусть, для простоты, коэффициент при $x^4$ равен единице. Какие неравенства на остальные 4 коэффициента? Конечно, надо потребовать, чтобы он был неотрицателен на концах. Но у него еще могут быть минимумы на отрезке, в которых он может быть отрицателен. Значит, надо найти минимумы и проверить, входят ли они в отрезок, и если да, то принимаются ли там отрицательные значения. А эти минимумы, к тому же, - корни кубического уравнения. В общем, полно мороки. Может быть, это уже давно где-то сделано?

Зачем это нужно - речь идет о полиномиальных плотностях распределения вероятностей на заданном отрезке. Может быть, такие классы распределений уже кем-то изучались?

[mihiv]

Можно определить число корней многочлена на $[a,b]$ с помощью теоремы Штурма или оценить их число сверху (теорема Бюдана-Фурье). Если корней нет, то знак сохраняется.