коерцивность квадратичного функционала

[dikiy]

Дан функционал

$$J(x)=\int\limits_0^T A(t)x(t)^2+B(t)\dot x(t)^2 dt,\ x\in W_2^1[0,T],\ A(t)\in L_\infty[0,T],B(t)\in C^0[0,T]$$

Норма - одна из стандартных на соболевом пространстве:

$$\|x\|=\left( x(0)^2+\int\limits_0^T \dot x(t)^2 dt \right)^{1/2}$$

Так же известно, что $B(t)>0$. Очевидно, что при $A(t)\geq 0$ функционал будет коерцивен.

мне хотелось бы показать, что это и необходимое условие. То есть если я найду такую окресность, что $A(t)<0$, то я могу построить такую последовательность функций $\{x_n\}$, норма которых стремится к бесконечности, в то время как $J(x_n)$ остается ограниченным сверху.

мне не удается пока получить такую последовательность. Может быть $A(t)$ вообще не влияет на свойство коерцивности? Но как это показать?

[Oleg Zubelevich]

Если $A\equiv 0$ то в качествен $x$ можно брать возрастающую последовательность констант и коэрцитивности не будет