2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Непрерывность несобственного интеграла
Сообщение06.06.2013, 14:44 
Помогите доказать, что интеграл непрерывен по параметру $a$ $\int_{0}^{\infty} \frac {\cos ax}{x^2+1} dx$

 
 
 
 Re: Непрерывность несобственного интеграла
Сообщение06.06.2013, 14:49 
Аватара пользователя
А вы что уже сделали? Определения, теоремы вспомнили? Какая есть теорема о непрерывности несобственного интеграла?

 
 
 
 Re: Непрерывность несобственного интеграла
Сообщение06.06.2013, 14:55 
Аватара пользователя
Докажите, что подынтегральная функция непрерывна на $[0; +\infty) \times A$, и что интеграл сходится равномерно на $A$. Этого будет достаточно.

 
 
 
 Re: Непрерывность несобственного интеграла
Сообщение06.06.2013, 14:57 
provincialka в сообщении #733503 писал(а):
А вы что уже сделали? Определения, теоремы вспомнили? Какая есть теорема о непрерывности несобственного интеграла?

собственно по теореме у меня и вопрос.
Нашел такую формулировку - Пусть $f(x,y)$ определена и непрерывна (как функция двух переменных) на множестве $E{(x,y): a \leqslant x \leqslant b, y \in Y}$ и $\int_{a}^{b} f(x,y)dx$ сходится равномерно на $Y$, тогда интеграл является непрерывной функцией.
Что в этом определении понимается под $Y$?

 
 
 
 Re: Непрерывность несобственного интеграла
Сообщение06.06.2013, 14:58 
Аватара пользователя
randy
Множество, откуда берется параметр

 
 
 
 Re: Непрерывность несобственного интеграла
Сообщение06.06.2013, 15:08 
SpBTimes в сообщении #733510 писал(а):
randy
Множество, откуда берется параметр

это множество связано с осью $y$? то есть можно ли составить прямоугольник, сторонами которого будут границы интегрирования $a$ и $b$ и некоторые граничные числа области $Y$ - $c$, $d$?
Изображение

 
 
 
 Re: Непрерывность несобственного интеграла
Сообщение06.06.2013, 15:30 
Аватара пользователя
У Вас в примере вместо $y$ используется $a$, но это не принципиально. Можете выбрать для него отрезок, но, вообще-то можно взять в качестве области всю прямую (в этом примере. В других, наоборот, приходится брать окрестность произвольной точки).

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group