Непрерывность несобственного интеграла

[randy]

Помогите доказать, что интеграл непрерывен по параметру $a$ $\int_{0}^{\infty} \frac {\cos ax}{x^2+1} dx$

[provincialka]

А вы что уже сделали? Определения, теоремы вспомнили? Какая есть теорема о непрерывности несобственного интеграла?

[SpBTimes]

Докажите, что подынтегральная функция непрерывна на $[0; +\infty) \times A$, и что интеграл сходится равномерно на $A$. Этого будет достаточно.

[randy]

provincialka в сообщении #733503 писал(а):

А вы что уже сделали? Определения, теоремы вспомнили? Какая есть теорема о непрерывности несобственного интеграла?

собственно по теореме у меня и вопрос.
Нашел такую формулировку - Пусть $f(x,y)$ определена и непрерывна (как функция двух переменных) на множестве $E{(x,y): a \leqslant x \leqslant b, y \in Y}$ и $\int_{a}^{b} f(x,y)dx$ сходится равномерно на $Y$, тогда интеграл является непрерывной функцией.
Что в этом определении понимается под $Y$?

[SpBTimes]

randy
Множество, откуда берется параметр

[randy]

SpBTimes в сообщении #733510 писал(а):

randy
Множество, откуда берется параметр

это множество связано с осью $y$? то есть можно ли составить прямоугольник, сторонами которого будут границы интегрирования $a$ и $b$ и некоторые граничные числа области $Y$ - $c$, $d$?

[provincialka]

У Вас в примере вместо $y$ используется $a$, но это не принципиально. Можете выбрать для него отрезок, но, вообще-то можно взять в качестве области всю прямую (в этом примере. В других, наоборот, приходится брать окрестность произвольной точки).