Ряд Маклорена

[Limit79]

Раскладываю функцию $f(x)=x \cdot \ln(1+x^2)$ в ряд Маклорена.

Табличное разложение: $\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot x^n}{n} $, $|x|<1$.

Далее:

$\ln(1+x^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot x^{2n}}{n} $

$x \cdot \ln(1+x^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot x^{2n+1}}{n} $

Вопрос такой: будет ли меняться область сходимости в общем случае при подобных преобразованиях?

[bot]

Дык очевидно - множитель $x$ никак не влияет на радиус сходимости. Постановка квадрата вместо переменной извлекает из него корень, а $\sqrt1=1$. Может измениться (как в данном случае) сходимость только на границе.

[Limit79]

bot
Спасибо!

Возник еще вопрос: а почему везде для ряда Маклорена для $f(x)=\ln(1+x)$ пишут $|x|<1$, ведь ряд сходится и при $x=1$?

[bot]

Указывают область абсолютной сходимости, хотя, наверно, и не везде.