Здравствуйте, форумчане! Читал книгу Колмогорова по функциональному анализу и наткнулся на доказательство полноты пространства непрерывных функций на отрезке (стр. 67). В данном доказательстве рассматривается фундаментальная сходящаяся последовательность, и даётся определение этого факта

. Почему

не зависит от

? (По определению фундаментальной последовательности должно)
Далее по понятным причинам говорится, что последовательность сходится равномерно, а уже из этого следует, что предел этой последовательности есть непрерывная функция. Почему ?
Помогите разобраться в данных вопросах.